\documentclass{article}
\usepackage{german}
\usepackage{pictex}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amssymb}
\include{commands}
\newcommand{\matrixx}[9]{\left(\begin{array}{rrr}{#1}&{#2}&{#3}\\{#4}&{#5}&{#6}\\{#7}&{#8}&{#9}\\\end{array}\right)}
\newcommand{\M}{I\hspace{-0.3em}M}
\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 9\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 9\hfill}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10em}
%\addtolength{\evensidemargin}{-10em}
%\addtolength{\textwidth}{10em}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 9}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Berechnen Sie die $n\times n$-Matrizen $(E_n-2E_{jj})(E_n+E_{ij})(E_n-2E_{jj}),(E_n-2E_{jj})(E_n+E_{ij})(E_n-2E_{jj})(E_n-2E_{jj})(E_n+E_{ji})(E_n-2E_{jj})(E_n+E_{ji})$}
\begin{eqnarray*}
E_n-2E_{jj}&=&\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&\cdots&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&\ddots&\cdots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\cdots&-1&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&1\\
\end{array}\right)\\
E_n+E_{ij}&=&\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&\cdots&1&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&\ddots&\cdots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\cdots&1&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&1\\
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
(E_n-2E_{jj})(E_n+E_{ij})&=&\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&\cdots&1&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&\ddots&\cdots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\cdots&-1&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&1\\
\end{array}\right)=(E_n-2E_{jj}+E_{ij})\\
\\
((E_n-2E_{jj})(E_n+E_{ij}))(E_n-2E_{jj})&=&\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&\cdots&-1&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&\ddots&\cdots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\cdots&1&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&1\\
\end{array}\right)=(E_n-E_{ij})
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
E_n+E_{ji}&=&\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&\cdots&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\cdots&\vdots\\
1&\vdots&\cdots&1&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&1\\
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
(E_n-2E_{jj})(E_n+E_{ij})(E_n-2E_{jj})(E_n+E_{ji})&=&\left(\begin{array}{rrrrr}0&0&\cdots&-1&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\cdots&\vdots\\
1&\vdots&\cdots&1&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&1\\
\end{array}\right)\\&=&(E_n+E_{ji}-E_{ij})\\
(E_n+E_{ji}-E_{ij})(E_n-2E_{jj})&=&\left(\begin{array}{rrrrr}0&0&\cdots&1&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\cdots&\vdots\\
1&\vdots&\cdots&-1&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&1\\
\end{array}\right)\\&=&(E_n+E_{ji}+E_{ij}-2E_{jj})\\
(E_n+E_{ji}+E_{ij}-2E_{jj})(E_n+E_{ij})&=&\left(\begin{array}{rrrrr}0&0&\cdots&1&0\\
0&1&\cdots&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\cdots&\vdots\\
1&\vdots&\cdots&0&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&1\\
\end{array}\right)\\
&=&(E_n-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji})
\end{eqnarray*}
\subsection*{2.) Seien $S:=\{(a_{ij})\in M(n\times n,K)\mid a_{ij}=0$ f"ur $j\ne 1\}$  und $Z:=\{(a_{ij})\in M(n\times n,K)\mid a_{ij}=0$ f"ur $i\ne 1\}$. Zeigen Sie, dass $AB\in {\cal S},\;CA\in {\cal Z}\;\;\forall A\in M(n\times n,K),\;B\in {\cal S},\;C\in {\cal Z}$.}
\subsection*{3.) Sie die folgenden Matrizen invertierbar? Wenn ja, dann geben Sie die inverse Matrix an}
\subsubsection*{a.) $\left(\begin{array}{rrr}1&2&0\\1&1&1\\2&0&1\\\end{array}\right)\in M(3\times 3,\R)$}
Um die Matrix in die Einheitsmatrix zu "uberf"uhren sind folgende Operationen n"otig:
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0	&	1&0&0\\
1&1&1	&	0&1&0\\
2&0&1	&	0&0&1\\
\end{array}\right)&\rightsquigarrow&
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0	&	1&0&0\\
0&-1&1	&	-1&1&0\\
0&-4&1	&	-2&0&1\\
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0	&	1&0&0\\
0&-1&1	&	-1&1&0\\
0&0&-3	&	2&-4&1\\
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0	&	1&0&0\\
0&1&-1	&	1&-1&0\\
0&0&1	&	-\frac{2}{3}&\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\	
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0	&	1&0&0\\
0&1&0	&	\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\
0&0&1	&	-\frac{2}{3}&\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0	&	\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\
0&1&0	&	\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\
0&0&1	&	-\frac{2}{3}&\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\
\end{array}\right)\\
\end{eqnarray*}
Damit existiert eine inverse Matrix.
\subsubsection*{b.) $\left(\begin{array}{rrr}1&2&0\\1&1&1\\2&0&1\\\end{array}\right)\in M(3\times 3,\Z/3\Z)$}
Der erste Umwandlungsschritt entspricht noch dem aus Aufgabe a.).
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0   &       1&0&0\\
1&1&1   &       0&1&0\\
2&0&1   &       0&0&1\\
\end{array}\right)&\rightsquigarrow&
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0   &       1&0&0\\
0&-1&1  &       -1&1&0\\
0&-4&1  &       -2&0&1\\
\end{array}\right)\\
\end{eqnarray*}
Da die Matrix in einem Restklassenring liegt, gilt dann aber
\begin{eqnarray*}
&=&
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0   &       1&0&0\\
0&-1&1  &       -1&1&0\\
0&-1&1  &       -2&0&1\\
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
1&2&0	&	1&0&0\\
0&-1&1	&	-1&1&0\\
0& 0&0	&	0&-1&1\\
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Damit ist es nicht m"oglich, die Matrix in die Einheitsmatrix umzuwandeln, daher gibt es keine Inverse.
\subsection*{4.) Seien $A\in M(m\times n,K)$ und $B\in M(n\times r,K)$. Es gilt $Rang(A)+Rang(B)-n\leqslant Rang(AB)\leqslant \min\{Rang(A),Rang(B)\}$. Geben Sie Beispiel an, f"ur die jeweils das Gleichheitszeichen steht.}
\end{document}

