\documentclass{article}
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\include{commands}
\newcommand{\matrixx}[4]{\left(\begin{array}{cc}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\\\end{array}\right)}
\newcommand{\M}{I\hspace{-0.3em}M}
\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 8\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 8\hfill}
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\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 8}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Es bezeichne $\bar{x}$ die zu $x\in \C$ konjungiert komplexe Zahl. Zeigen Sie, dass die Menge aller Matrizen $\matrixx{x}{-y}{\bar{y}}{\bar{x}}$ mit $x,y\in \C$ bez"uglich der Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation alle Axiome eines K"orpers mit Ausnahme der Kommutativit"at der Multiplikation erf"ullen.}
Sei $\M:=\left\{\matrixx{x}{-y}{\bar{y}}{\bar{x}}\mid x,y\in \C\right\}$ die Menge der Matrizen, 
$A:=\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}},
\;B:=\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}},
\;C:=\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l}}$ 
drei Matrizen aus $\M$ (mit $a^\prime=a+\alpha i,\;b^\prime=b+\beta i,\;c^\prime=c+\gamma i,\;d^\prime=d+\delta i,\;l^\prime=l+\lambda i,\;m^\prime=m+\mu i$)
\subsubsection*{a.) Addition}
\begin{description}
\item[Abgeschlossenheit]{Damit $(\M,+)$ abgeschlossen ist, mu"s f"ur jede Kombination von $A,B\in \M$ gelten $(A+B)\in \M$k
\begin{eqnarray*}
A+B&=&\matrixx{a+\alpha i}{-b-\beta i}{b-\beta i}{a-\alpha i}+\matrixx{c+\gamma i}{-d-\delta i}{d-\delta i}{c-\gamma i}\\
&=&\matrixx{a+\alpha i+c+\gamma i}{-b-\beta i-d-\delta i}{b-\beta i+d-\delta i}{a-\alpha i+c-\gamma i}\\
&=&\matrixx{a+c+(\alpha+\gamma )i}{-(b+d)-(\beta+\delta)i}{(b+d)-(\beta+\delta)i}{(a+c)-(\alpha+\gamma)i}\\
\end{eqnarray*}
Damit ist $\M$ bez"uglich der Addition abgeschlossen. 
}
\item[Assoziativit"at Addition]{
\begin{eqnarray*}
[A+B]+C&=&\left[\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}+\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}\right]+\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime+c^\prime}{-b^\prime -d^\prime}{\bar{b^\prime} +\bar{d^\prime}}{\bar{a^\prime} +\bar{c^\prime}}+\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime+c^\prime+l^\prime}{-b^\prime -d^\prime -m^\prime}{\bar{b^\prime}+\bar{d^\prime}+\bar{m^\prime}}{\bar{a^\prime}+\bar{c^\prime}+\bar{l^\prime}}\\\\\\
A+[B+C]&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}+\left[\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}+\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\right]\\
&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}+\matrixx{c^\prime+l^\prime}{-d^\prime-m^\prime}{\bar{d^\prime}+\bar{m^\prime}}{\bar{c^\prime}+\bar{l^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime+c^\prime+l^\prime}{-b^\prime-d^\prime-m^\prime}{\bar{d^\prime}+\bar{d^\prime}+\bar{m^\prime}}{\bar{a^\prime}+\bar{c^\prime}+\bar{l^\prime}}
\end{eqnarray*}
Damit ist $(\M,+)$ assoziativ.
}
\item[Kommutativit"at Addition]{
\begin{eqnarray*}
A+B&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}+\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime+c^\prime}{-b^\prime-d^\prime}{\bar{b^\prime}+\bar{d^\prime}}{\bar{a^\prime}+\bar{c^\prime}}\\\\\\
B+A&=&\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}+\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\\
&=&\matrixx{c^\prime+a^\prime}{-d^\prime-b^\prime}{\bar{d^\prime}+\bar{b^\prime}}{\bar{c^\prime}+\bar{a^\prime}}=\matrixx{a^\prime+c^\prime}{-b^\prime-d^\prime}{\bar{b^\prime}+\bar{d^\prime}}{\bar{a^\prime}+\bar{c^\prime}}
\end{eqnarray*}
Damit ist $(\M,+)$ kommutativ.
}
\item[Neutrales Element Addition]{Das neutrale Element der Addition ist $N:=\matrixx{0}{0}{0}{0}$.
\begin{eqnarray*}
A+N&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}+\matrixx{0}{0}{0}{0}\\
&=&\matrixx{a^\prime+0}{-b^\prime+0}{\bar{b^\prime}+0}{\bar{a^\prime}+0}=\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}=A
\end{eqnarray*}
Da $(\M,+)$ kommutativ ist, ist $N$ sowohl rechts- als auch linksneutral. Zudem ist $\M$ nicht leer.
}
\item[Inverses Element Addition]{Das zu einem beliebigen Element $A$ inverse Element $A^{-1}$ ist
\begin{eqnarray*}
A^{-1}:=\matrixx{-a^\prime}{b^\prime}{-\bar{b\prime}}{-\bar{a\prime}}
\end{eqnarray*}
da dann
\begin{eqnarray*}
A^{-1}+A=\matrixx{-a^\prime}{b^\prime}{-\bar{b^\prime}}{-\bar{a^\prime}}+\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}=\matrixx{-a^\prime+a^\prime}{b^\prime-b^\prime}{-\bar{b^\prime}+\bar{b^\prime}}{-\bar{a^\prime}+\bar{a^\prime}}=\matrixx{0}{0}{0}{0}=N
\end{eqnarray*}
ergibt. Also existiert f"ur jedes Element aus $\M$ ein additives Inverses. Da $(\M,+)$ kommutativ ist, ist $A^{-1}$ sowohl rechts- als auch linksinvers.
}
\end{description}
\subsubsection*{b.) Multiplikation}
\begin{description}
\item[Abgeschlossenheit]{
Damit $(\M,\bullet)$ abgeschlossen ist, mu"s f"ur jede Kombination von $A,B\in \M$ gelten $AB\in \M$
\begin{eqnarray*}
AB&=&\matrixx{a+\alpha i}{-b-\beta i}{b-\beta i}{a-\alpha i}\bullet \matrixx{c+\gamma i}{-d-\delta i}{d-\delta i}{c-\gamma i}\\
&=&\matrixx{(a+\alpha i)(c+\gamma i)+(-b-\beta i)(d-\delta i)}{(a+\alpha i)(-d-\delta i)+(-b-\beta i)(c-\gamma i)}{(b-\beta i)(c+\gamma i)+(a-\alpha i)(d-\delta i)}{(b-\beta i)(-d-\delta i)+(a-\alpha i)(c-\gamma i)}\\
&&\hspace{-7em}=\matrixx{ac+a\gamma i+\alpha c i+\alpha\gamma i^2-bd+b\delta i-\beta di+\beta\delta i^2}{-ad-a\delta i-\alpha di -\alpha\delta i^2-bc+b\gamma i-\beta ci+\beta\gamma i^2}{bc+b\gamma i-\beta ci-\beta\gamma i^2+ad-a\delta i-\alpha di+\alpha\delta i^2}{-bd+\beta di-b\delta i+\beta\delta i^2+ac-a\gamma i-\alpha ci+\alpha\gamma i^2}\\
&&\hspace{-7em}=\matrixx{(ac-\alpha\gamma-bd-\beta\delta)+(a\gamma+\alpha c+b\delta-\beta d)i}{-(ad-a\delta+bc+\beta\gamma)-(a\delta+\alpha d-b\gamma+\beta c)i}{(ad-\alpha\delta+bc+\beta\gamma)-(a\delta+\alpha d-b\gamma+\beta c)i}{(ac-\alpha\gamma-bd-\beta\delta)-(a\gamma+\alpha c+b\delta-\beta d)i}
\end{eqnarray*}

Damit ist $(\M,\bullet)$ abgeschlossen.\\

}
\item[Assoziativit"at Multiplikation]{
\begin{eqnarray*}
[AB]C&=&\left[\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}\right]\bullet\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime-b^\prime\bar{d^\prime}}{-a^\prime d^\prime-b^\prime \bar{c^\prime}}{\bar{a^\prime}\bar{d^\prime}+\bar{b^\prime}c^\prime}{\bar{a^\prime}\bar{c^\prime}-\bar{b^\prime}d^\prime}\bullet\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime l^\prime -b^\prime \bar{d^\prime} l^\prime -a^\prime d^\prime \bar{m^\prime} -b^\prime \bar{c^\prime} \bar{m^\prime}}{-a^\prime c^\prime m^\prime +b^\prime \bar{d^\prime} m^\prime -a^\prime d^\prime \bar{l^\prime} -b^\prime \bar{c^\prime} \bar{l^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{d^\prime} l^\prime +\bar{b^\prime} c^\prime l^\prime +\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} \bar{m^\prime} -\bar{b^\prime} d^\prime \bar{m^\prime}}{-\bar{a^\prime} \bar{d^\prime} m^\prime -\bar{b^\prime} c^\prime m^\prime +\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} \bar{l^\prime} -\bar{b^\prime} d^\prime \bar{l^\prime}}\\ 
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime l^\prime-a^\prime d^\prime \bar{m^\prime} -b^\prime \bar{c^\prime} \bar{m^\prime} -b^\prime \bar{d^\prime} l^\prime }{-a^\prime c^\prime m^\prime-a^\prime d^\prime \bar{l^\prime} -b^\prime \bar{c^\prime} \bar{l^\prime} +b^\prime \bar{d^\prime} m^\prime }{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} \bar{m^\prime}+ \bar{a^\prime} \bar{d^\prime} l^\prime +\bar{b^\prime} c^\prime l^\prime -\bar{b^\prime} d^\prime \bar{m^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} \bar{l^\prime} -\bar{a^\prime} \bar{d^\prime} m^\prime -\bar{b^\prime} c^\prime m^\prime -\bar{b^\prime} d^\prime \bar{l^\prime}}\\ \\\\
A[BC]&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\left[\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}\bullet\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\right]\\
&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\matrixx{c^\prime l^\prime -d^\prime \bar{m^\prime}}{- c^\prime m^\prime -d^\prime \bar{l^\prime}}{\bar{c^\prime} \bar{m^\prime}+\bar{d^\prime} l^\prime }{\bar{c^\prime} \bar{l^\prime}-\bar{d^\prime} m^\prime }\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime l^\prime -a^\prime d^\prime \bar{m^\prime}-b^\prime \bar{c^\prime} \bar{m^\prime} - b^\prime \bar{d^\prime} l^\prime }{-a^\prime c^\prime m^\prime -a^\prime d^\prime \bar{l^\prime} -b^\prime \bar{c^\prime} \bar{l^\prime} +b^\prime \bar{d^\prime} m^\prime}{\bar{b^\prime} c^\prime l^\prime-\bar{b^\prime} d^\prime \bar{m^\prime} +\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} \bar{m^\prime}+\bar{a^\prime} \bar{d^\prime} l^\prime}{-\bar{b^\prime} c^\prime m^\prime -\bar{b^\prime} d^\prime \bar{l^\prime} +\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} \bar{l^\prime} -\bar{a^\prime} \bar{d^\prime} m^\prime}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime l^\prime -a^\prime d^\prime \bar{m^\prime}-b^\prime \bar{c^\prime} \bar{m^\prime} - b^\prime \bar{d^\prime} l^\prime }{-a^\prime c^\prime m^\prime -a^\prime d^\prime \bar{l^\prime} -b^\prime \bar{c^\prime} \bar{l^\prime} +b^\prime \bar{d^\prime} m^\prime}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} \bar{m^\prime}+\bar{a^\prime} \bar{d^\prime} l^\prime+ \bar{b^\prime} c^\prime l^\prime-\bar{b^\prime} d^\prime \bar{m^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} \bar{l^\prime} -\bar{a^\prime} \bar{d^\prime} m^\prime-\bar{b^\prime} c^\prime m^\prime -\bar{b^\prime} d^\prime \bar{l^\prime} }\\
\end{eqnarray*}
Somit ist $(\M,\bullet)$ assoziativ.
}
\item[Kommutativit"at Multiplikation]{
\begin{eqnarray*}
AB&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime-b^\prime d^\prime}{-a^\prime d^\prime-b^\prime \bar{c^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{d^\prime}+\bar{b^\prime} c^\prime}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime}-\bar{b^\prime} d^\prime}\\\\\\
BA&=&\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}\bullet\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime-\bar{b^\prime} d^\prime}{-\bar{a^\prime} d^\prime-b^\prime c^\prime }{a^\prime \bar{b^\prime}+ \bar{d^\prime} \bar{c^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} -b^\prime \bar{d^\prime}}
\end{eqnarray*}
Damit ist $(\M,\bullet)$ nicht kommutativ.
}
\item[Neutrales Element Multiplikation]{Das neutrale Element der Multiplikation ist $E:=\matrixx{1}{0}{0}{1}$. Da $(\M,\bullet)$ nicht kommutativ ist, mu"s gezeigt werden, da"s es sowohl links- als auch rechtsneutral ist.
\begin{description}
\item[Linksneutrales Element]{
\begin{eqnarray*}
EA&=&\matrixx{1}{0}{0}{1}\bullet \matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\\
&=&\matrixx{1 a^\prime +0 \bar{b^\prime}}{1(-b^\prime)+0\bar{a^\prime}}{0 a^\prime+1\bar{b^\prime}}{0(-b^\prime)+1\bar{a^\prime}}=\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}=A
\end{eqnarray*}
Damit ist $E$ in $(\M,\bullet)$ linksneutral.
}
\item[Rechtsneutrales Element]{
\begin{eqnarray*}
AE&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\matrixx{1}{0}{0}{1}\\
&=&\matrixx{a^\prime 1-b^\prime 0}{a^\prime 0 -b^\prime 1}{\bar{b^\prime} 1+ \bar{a^\prime} 0}{\bar{b^\prime} 0+ \bar{a^\prime} 1}=\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}=A
\end{eqnarray*}
Damit ist $E$ in $(\M,\bullet)$ rechtsneutral.
}
\end{description}
Somit existiert ein neutrales Element in $(\M,\bullet)$.
}
\item[Inverses Element Multiplikation]
{
Da $(\M,\bullet)$ nicht kommutativ ist, mu"s ein links- und ein rechtsinverses Element $A^{-1}\in \M$ gefunden werden, so da"s $AA^{-1}=E$ und $A^{-1}A=E$ ergibt.
\begin{eqnarray*}
AB=\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b}}{\bar{a}}\bullet\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}=\matrixx{a^\prime c^\prime-b^\prime\bar{d^\prime}}{-a^\prime \bar{d^\prime}-b^\prime \bar{c^\prime}}{\bar{a^\prime}\bar{d^\prime}+\bar{b^\prime}c^\prime }{\bar{a^\prime}\bar{c^\prime}-\bar{b^\prime}d^\prime }
\end{eqnarray*}
Damit mu"s das folgende Lineare Gleichungssystem erf"ullt sein
\begin{eqnarray*}
a^\prime c^\prime -b^\prime \bar{d^\prime}&=&1\\
-a^\prime \bar{d^\prime}-b^\prime \bar{c^\prime}&=&0\\
\bar{a^\prime}\bar{d^\prime}+\bar{b^\prime}c^\prime &=&0\\
\bar{a^\prime}\bar{c^\prime}-\bar{b^\prime}d^\prime &=&0\\
\end{eqnarray*}
F"ur das rechtsinverse Element m"ussen somit geeignete $c^\prime$ und $d^\prime$ gefunden werden, f"ur das linksinverse $a^\prime$ und $b^\prime$.
\begin{description}
\item[Rechtsinverses Element]{
\begin{eqnarray*}
a^\prime c^\prime -b^\prime \bar{d^\prime}=1&\Leftrightarrow&a^\prime c^\prime =1+b^\prime \bar{d^\prime}\\
&\Leftrightarrow&c^\prime =\frac{1+b^\prime \bar{d^\prime}}{a^\prime }\\
\\
\bar{a^\prime}\bar{d^\prime}+\bar{b^\prime}c^\prime =0&\Leftrightarrow&\bar{a^\prime}\bar{d^\prime}=-\bar{b^\prime}c^\prime \\
&\Leftrightarrow&\bar{d^\prime}=-\frac{\bar{b^\prime}c^\prime }{\bar{a^\prime}}\\
\\
\Rightarrow \bar{d^\prime}=-\frac{\bar{b^\prime}\frac{1+b^\prime \bar{d^\prime}}{\bar{a^\prime}}}{\bar{a^\prime}}&\Leftrightarrow&\bar{d^\prime}=-\frac{\bar{b^\prime}+b^\prime \bar{d^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\\
&\Leftrightarrow&\bar{d^\prime}=-\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}-\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\bar{d^\prime}\\
&\Leftrightarrow&\bar{d^\prime}+\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\bar{d^\prime}=-\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\\
&\Leftrightarrow&\bar{d^\prime}\left(1+\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\right)=-\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\\
&\Leftrightarrow&\bar{d^\prime}\left(\frac{\bar{a^\prime}^2+\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\right)=-\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\\
&\Leftrightarrow&\bar{d^\prime}=-\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2}\cdot\frac{\bar{a^\prime}^2}{\bar{a^\prime}^2+\bar{b^\prime}}\\
&\Leftrightarrow&\bar{d^\prime}=-\frac{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}^2+\bar{b^\prime}}
\end{eqnarray*}
Damit existiert ein rechtsinverses Element f"ur Matrizen mit $a^\prime\ne 0$ und $\bar{a^\prime}^2+\bar{b^\prime}\ne 0$.

}
\item[Linksinverses Element]{
\begin{eqnarray*}
c^\prime a^\prime -d^\prime \bar{b^\prime}=1&\Leftrightarrow&c^\prime a^\prime =1+d^\prime \bar{b^\prime}\\
&\Leftrightarrow&a^\prime =\frac{1+d^\prime \bar{b^\prime}}{c^\prime }\\
\\
\bar{c^\prime}\bar{b^\prime}+\bar{d^\prime}a^\prime =0&\Leftrightarrow&\bar{c^\prime}\bar{b^\prime}=-\bar{d^\prime}a^\prime \\
&\Leftrightarrow&\bar{b^\prime}=-\frac{\bar{d^\prime}a^\prime }{\bar{c^\prime}}\\
\\
\Rightarrow \bar{b^\prime}=-\frac{\bar{d^\prime}\frac{1+d^\prime \bar{b^\prime}}{\bar{c^\prime}}}{\bar{c^\prime}}&\Leftrightarrow&\bar{b^\prime}=-\frac{\bar{d^\prime}+d^\prime \bar{b^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\\
&\Leftrightarrow&\bar{b^\prime}=-\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}-\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\bar{b^\prime}\\
&\Leftrightarrow&\bar{b^\prime}+\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\bar{b^\prime}=-\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\\
&\Leftrightarrow&\bar{b^\prime}\left(1+\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\right)=-\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\\
&\Leftrightarrow&\bar{b^\prime}\left(\frac{\bar{c^\prime}^2+\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\right)=-\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\\
&\Leftrightarrow&\bar{b^\prime}=-\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2}\cdot\frac{\bar{c^\prime}^2}{\bar{c^\prime}^2+\bar{d^\prime}}\\
&\Leftrightarrow&\bar{b^\prime}=-\frac{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}^2+\bar{d^\prime}}
\end{eqnarray*}
Damit existiert ein linksinverses Element f"ur Matrizen mit $c^\prime\ne 0$ und $\bar{c^\prime}^2+\bar{d^\prime}\ne 0$.
}
\end{description}
Somit exisitieren inverse Element der Multiplikation in $\M$.
}

























\end{description}
\subsubsection*{c.) Distributivit"at}
Da $(\M,\bullet)$ nicht kommutativ ist, mu"s auf Rechts- und Linksdistributivit"at gepr"uft werden.
\begin{description}
\item[Linksdistributivit"at]{
\begin{eqnarray*}
AB+AC&=&\left[\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}\right]+\left[\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\right]\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime-b^\prime \bar{d^\prime}}{-a^\prime d^\prime -b^\prime \bar{c^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{d^\prime}+\bar{b^\prime} c^\prime }{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime}-\bar{b^\prime} d^\prime}+\matrixx{a^\prime l^\prime -b^\prime \bar{m^\prime}}{-a^\prime m^\prime -b^\prime \bar{l^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{m^\prime}+\bar{b^\prime} l^\prime}{\bar{a^\prime} \bar{l^\prime}-\bar{b^\prime} m^\prime}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime+a^\prime l^\prime - b^\prime \bar{d^\prime} - b^\prime \bar{m^\prime}}{-a^\prime d^\prime-a^\prime m^\prime -b^\prime \bar{c^\prime} -b^\prime \bar{l^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{d^\prime}+\bar{a^\prime} \bar{m^\prime}+\bar{b^\prime} c^\prime +\bar{b^\prime} l^\prime}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} + \bar{a^\prime} \bar{l^\prime} -\bar{b^\prime} d^\prime - \bar{b^\prime} m^\prime}\\\\\\
A[B+C]&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\left[\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}+\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\right]\\
&=&\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\bullet\matrixx{c^\prime+l^\prime}{-d^\prime-m^\prime}{\bar{d^\prime}+\bar{m^\prime}}{\bar{c^\prime}+\bar{l^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime+a^\prime l^\prime-b^\prime \bar{d^\prime}-b^\prime \bar{m^\prime}}{-a^\prime d^\prime-a^\prime m^\prime-b^\prime \bar{c^\prime} -b^\prime \bar{l^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{d^\prime}+\bar{a^\prime} \bar{m^\prime}+\bar{b^\prime} c^\prime+\bar{b^\prime} l^\prime}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} + \bar{a^\prime} \bar{l^\prime}-\bar{b^\prime} d^\prime -\bar{b^\prime} m^\prime}
\end{eqnarray*}
Damit ist $(\M,\bullet,+)$ linksdistributiv.
}
\item[Rechtsdistributivit"at]{ 
\begin{eqnarray*}
BA+CA&=&\left[\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}\bullet\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\right]+\left[\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\bullet\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\right]\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime - \bar{b^\prime} d^\prime}{- b^\prime c^\prime - \bar{a^\prime} d^\prime}{a^\prime \bar{d^\prime} + \bar{b^\prime} \bar{c^\prime}}{- b^\prime \bar{d^\prime}+ \bar{a^\prime} \bar{c^\prime}}+\matrixx{a^\prime l^\prime - \bar{b^\prime} m^\prime}{-\bar{a^\prime} m^\prime-b^\prime l^\prime}{a^\prime \bar{m^\prime} - \bar{b^\prime} \bar{l^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{l^\prime} - b^\prime \bar{m^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime + a^\prime l^\prime - \bar{b^\prime} d^\prime - \bar{b^\prime} m^\prime}{-\bar{a^\prime} d^\prime - \bar{a^\prime} m^\prime - b^\prime c^\prime - b^\prime l^\prime}{a^\prime \bar{d^\prime}+a^\prime \bar{m^\prime} + \bar{b^\prime} \bar{c^\prime} - \bar{b^\prime} \bar{l^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} + \bar{a^\prime} \bar{l^\prime} - b^\prime \bar{d^\prime} - b^\prime \bar{m^\prime}}\\
\hspace{0em}[B+C]A&=&\left[\matrixx{c^\prime}{-d^\prime}{\bar{d^\prime}}{\bar{c^\prime}}+\matrixx{l^\prime}{-m^\prime}{\bar{m^\prime}}{\bar{l^\prime}}\right]\bullet\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\\
&=&\matrixx{c^\prime+l^\prime}{-d^\prime-m^\prime}{\bar{d^\prime}+\bar{m^\prime}}{\bar{c^\prime}+\bar{l^\prime}}\bullet\matrixx{a^\prime}{-b^\prime}{\bar{b^\prime}}{\bar{a^\prime}}\\
&=&\matrixx{a^\prime c^\prime +a^\prime l^\prime- \bar{b^\prime} d^\prime - \bar{b^\prime} m^\prime}{-\bar{a^\prime} d^\prime - \bar{a^\prime} m^\prime- b^\prime c^\prime - b^\prime l^\prime}{a^\prime \bar{d^\prime} + a^\prime \bar{m^\prime}+ \bar{b^\prime} \bar{c^\prime}+ \bar{b^\prime} \bar{l^\prime}}{\bar{a^\prime} \bar{c^\prime} + \bar{a^\prime} \bar{l^\prime} - b^\prime \bar{d^\prime} - b^\prime \bar{m^\prime}}
\end{eqnarray*}
Damit ist $(\M,\bullet,+)$ rechtsdistributiv.
}
\end{description}
Somit ist  $(\M,\bullet,+)$ distributiv.\\
$ $\\
$ $\\
Somit ist $(\M,+,\bullet)$ ein K"orper ohne Kommutativit"at.\\
q.e.d.\\

ufffff... Nicht nochmal so nen Scheiss, okay?\\
\subsection*{2.) L"osen Sie mit dem Gauss'schen Algorithmus das lineare Gleichungssystem $Ax=y$ "uber $\R$, wobei $A=\left(\begin{array}{rrrr}4&4&2&6\\2&1&4&2\\2&5&-8&6\\4&0&14&2\\\end{array}\right)$ und $y=\left(\begin{array}{r}2\\2\\-2\\6\\\end{array}\right)$.}
Um $Ax=y$ zu l"osen, schreibt man beide Matrizen in eine $5\times 4$-Matrix und formt diese in die obere Dreiecksmatrix um:
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{rrrrr|r}
I&4&4&2&6&2\\
II&2&1&4&2&2\\
III&2&5&-8&6&-2\\
IV&4&0&14&2&6\\
\end{array}\right)
&\stackrel{\begin{array}{rcl}II^\prime&=&II-0,5I\\
III^\prime&=&III-0,5I\\
IV^\prime&=&IV-I
\end{array}}{\rightsquigarrow}&\left(\begin{array}{rrrrr|r}
I&4&4&2&6&2\\
II&0&-1&3&-1&1\\
III&0&3&-9&3&-3\\
IV&0&-4&12&-4&4\\
\end{array}\right)\\
&\stackrel{\begin{array}{rcl}
III^\prime&=&III+3II\\IV^\prime&=&IV-4II
\end{array}}
{\rightsquigarrow}&\left(\begin{array}{rrrrr|r}
I&4&4&2&6&2\\
II&0&-1&3&-1&1\\
III&0&0&0&0&0\\
IV&0&0&0&0&0\\
\end{array}\right)=:A^\prime\\
\end{eqnarray*}
Somit ist $A^\prime x$ also das Lineare Gleichungssystem
\begin{eqnarray*}
4x_1+4x_2+2x_3+6x_4&=&2\\
0x_1-1x_2+3x_3-1x_4&=&1\\
0x_1+0x_2+0x_3+0x_4&=&0\\
0x_1+0x_2+0x_3+0x_4&=&0\\
\end{eqnarray*}
Mit $x_3=x_4=0$ ist somit 
\begin{eqnarray*}
-1x_2+3\cdot 0-1\cdot 0=1&\Leftrightarrow&x_2=-1
\end{eqnarray*}
und damit auch
\begin{eqnarray*}
4x_1+4\cdot (-1)+2\cdot 0+6\cdot 0=2&\Leftrightarrow &x_1=\frac{6}{4}=1,5
\end{eqnarray*}
Womit $x=\left(\begin{array}{r}1,5\\-1\\0\\0\\\end{array}\right)$ eine L"osung w"are.\\

Und ganz allgemein
\begin{eqnarray*}
-x_2+3x_3-1x_4=1&\Leftrightarrow&x_2=-1+3x_3-x_4\\
4x_1+4x_2+2x_3+6x_4=2&\Leftrightarrow&x_1=\frac{2-4x_2-2x_3-6x_4}{4}=\frac{1}{2}+1-3x_3+x_4-\frac{1}{2}x_3-\frac{3}{2}x_4\\&
\Leftrightarrow&x_1=\frac{3}{2}-\frac{7}{2}x_3-\frac{1}{2}x_4
\end{eqnarray*}
damit w"are die L"osung
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{r}\frac{3}{2}\\-1\\0\\0\\\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{r}-\frac{7}{2}\\3\\1\\0\\\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\\-1\\0\\1\\\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
\subsection*{3.) Seien $\sigma,\tau\in S_3$ die Permutationen von 3 Elementen gegeben durch $\sigma=(12),\quad\tau=(123)$ und $f,g:\R^3\rightarrow \R^3$ seien die linearen Abbildungen, die durch $f\left(\sum\limits^3_{i=1}\alpha_ie_i\right):=\sum\limits^3_{i=1}\alpha_ie_{\sigma(i)},\quad g\left(\sum\limits^3_{i=1}\alpha_ie_i\right):=\sum\limits^3_{i=1}\alpha_ie_{\tau(i)}$ gegeben sind ($e_i$ seien die kanonischen Einheitsvektoren). Geben Sie Matrizen $A,B$ an, f"ur die $f\left(\sum\limits^3_{i=1}\alpha_ie_i\right)=A\vektor{\alpha_1}{\alpha_2}{\alpha_3}$ und $g\left(\sum\limits^3_{i=1}\alpha_ie_i\right)=B\vektor{\alpha_1}{\alpha_2}{\alpha_3}$ gilt.}
Mit
\begin{eqnarray*}
\sigma:=(12)=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\\\end{array}\right)&&\tau:=(123)=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\\\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
sind $f,g$ somit
\begin{eqnarray*}
f(\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\alpha_3e_3)&=&\alpha_1e_2+\alpha_2e_1+\alpha_3e_3\\
&=&\alpha_1\vektor{0}{1}{0}+\alpha_2\vektor{1}{0}{0}+\alpha_3\vektor{0}{0}{1}\\
&=&\vektor{\alpha_2}{\alpha_1}{\alpha_3}\\\\
g(\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\alpha_3e_3)&=&\alpha_1e_2+\alpha_2e_3+\alpha_3e_1\\
&=&\alpha_1\vektor{0}{1}{0}+\alpha_2\vektor{0}{0}{1}+\alpha_3\vektor{1}{0}{0}\\
&=&\vektor{\alpha_3}{\alpha_1}{\alpha_2}\\
\end{eqnarray*}

Als $A,B$ k"onnen also 
\begin{eqnarray*}
A:=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right),&&B:=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
und als $\alpha=\vektor{\alpha_1}{\alpha_2}{\alpha_3}$ definiert werden, da dann die Matrizenmultiplikationen
\begin{eqnarray*}
A\alpha=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\vektor{\alpha_1}{\alpha_2}{\alpha_3}&=&\left(\begin{array}{r}0\cdot\alpha_1+1\cdot \alpha_2+0\cdot\alpha_3\\1\cdot\alpha_1+0\cdot \alpha_2+0\cdot\alpha_3\\0\cdot\alpha_1+0\cdot \alpha_2+1\cdot\alpha_3\\  \end{array}\right)=\vektor{\alpha_2}{\alpha_1}{\alpha_3}\\
B\alpha=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{array}\right)\vektor{\alpha_1}{\alpha_2}{\alpha_3}&=&\left(\begin{array}{r}0\cdot\alpha_1+0\cdot \alpha_2+1\cdot\alpha_3\\1\cdot\alpha_1+0\cdot \alpha_2+0\cdot\alpha_3\\0\cdot\alpha_1+1\cdot \alpha_2+0\cdot\alpha_3\\  \end{array}\right)=\vektor{\alpha_3}{\alpha_1}{\alpha_2}\\
\end{eqnarray*}
das gleiche Ergebnis wie $f(\alpha)$ und $g(\alpha)$ liefern,
\subsubsection*{4,) Ein Nahrungsmittel enth"alt Schadstoffe $S_1,\dots,S_5$, die bei der Produktion und Lagerung als Bestandteile von Pflanzenschutzmitteln auftreten, Auf einzelnen Stationen werden die folgenden Pflanzenschutzmittel benutzt:\\
\begin{tabular}{lll}&Station&Mittel\\\hline 1,&Landwirt&A\\2,&Rohproduktlagerung&B\\3,&Veredelungsbetrieb&C\\4,&Grossist und Transport&D\\5,&Einzelhandel&E\\\end{tabular}\\
Die folgende Tabelle gebe die prozentuale Zusammensetzung der Mittel $A,\dots,E$ wieder:\\
$\begin{array}{c|rrrrr}&S_1&S_2&S_3&S_4&S_5\\\hline A&0,2&0,5&0&0,3&0\\B&0,1&0,6&0,3&0&0\\C&0,1&0,2&0,2&0,3&0,2\\D&0&0&0,1&0,4&0,5\\E&0&0,1&0,3&0,3&0,3\\\end{array}$\\
F"ur das fertige Produkt ergibt die Nahrungsmittelanalyse die folgenden Werte in Gewichtseinheiten $\begin{array}{ccccc}S_1&S_2&S_3&S_4&S_5\\\hline0,75&2,25&0,65&1,60&0,75\\\end{array}$, Ermitteln Sie, wieviel in Gewichtsanteilen die einzelnen Stationen zur Schadstoffbelastung beitragen,
}
Schon die alten Chinesen kannten den Gauss'schen Algorithmus und hielten ihn schriftlich in den neun B"uchern der arithmetischen Technik (Chiu Chang Suan Shu, 300BC  bis 200AC) fest; dort wurde er jedoch nicht zeilen-, sondern spaltenweise angewandt:
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
0,2&0,5&0&0,3&0\\
0,1&0,6&0,3&0&0\\
0,1&0,2&0,2&0,3&0,2\\
0&0&0,1&0,4&0,5\\
0&0,1&0,3&0,3&0,3\\\hline
0,75&2,25&0,65&1,6&0,75\end{array}\right)\\
\stackrel{\begin{array}{rcl}
I^\prime&=&5I\\II^\prime&=&2II\\\end{array}}{\rightsquigarrow}&&
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
1&1&0&0,3&0\\
0,5&1,2&0,3&0&0\\
0,5&0,4&0,2&0,3&0,2\\
0&0&0,1&0,4&0,5\\
0&0,2&0,3&0,3&0,3\\\hline
3,75&4,5&0,65&1,6&0,75\end{array}\right)\\
\stackrel{\begin{array}{rcl}
II^\prime&=&II-1I\\IV^\prime&=&IV-0,3I\\\end{array}}{\rightsquigarrow}&&
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
1&0&0&0&0\\
0,5&0,7&0,3&-0,15&0\\
0,5&-0,1&0,2&0,15&0,2\\
0&0&0,1&0,4&0,5\\
0&0,2&0,3&0,3&0,3\\\hline
3,75&0,75&0,65&0,475&0,75\end{array}\right)\\
\stackrel{\begin{array}{rcl}
III^\prime&=&7III\\IV^\prime&=&7IV\\\end{array}}{\rightsquigarrow}&&
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
1&0&0&0&0\\
0,5&0,7&2,1&-1,05&0\\
0,5&-0,1&1,4&1,05&0,2\\
0&0&0,7&2,8&0,5\\
0&0,2&2,1&2,1&0,3\\\hline
3,75&0,75&4,55&3,325&0,75\end{array}\right)\\
\stackrel{\begin{array}{rcl}
III^\prime&=&III-3II\\IV^\prime&=&IV+1,5II\\\end{array}}{\rightsquigarrow}&&
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
1&0&0&0&0\\
0,5&0,7&0&0&0\\
0,5&-0,1&1,7&0,9&0,2\\
0&0&0,7&2,8&0,5\\
0&0,2&1,5&2,4&0,3\\\hline
3,75&0,75&2,3&4,45&0,75\end{array}\right)\\
\stackrel{\begin{array}{rcl}
IV^\prime&=&1,7IV\\V^\prime&=&1,7V\\\end{array}}{\rightsquigarrow}&&
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
1&0&0&0&0\\
0,5&0,7&0&0&0\\
0,5&-0,1&1,7&1,53&0,34\\
0&0&0,7&4,76&0,85\\
0&0,2&1,5&4,08&0,51\\\hline
3,75&0,75&2,3&7,565&1,275\end{array}\right)\\
\stackrel{\begin{array}{rcl}
IV^\prime&=&IV-0,9III\\V^\prime&=&V-0,2III\\\end{array}}{\rightsquigarrow}&&
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
1&0&0&0&0\\
0,5&0,7&0&0&0\\
0,5&-0,1&1,7&0&0\\
0&0&0,7&4,13&0,71\\
0&0,2&1,5&2,73&0,21\\\hline
3,75&0,75&2,3&5,495&0,815\end{array}\right)\\
\stackrel{\begin{array}{rcl}
V^\prime&=&4,13V\\\end{array}}{\rightsquigarrow}&&
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
1&0&0&0&0\\
0,5&0,7&0&0&0\\
0,5&-0,1&1,7&0&0\\
0&0&0,7&4,13&2,9323\\
0&0,2&1,5&2,73&0,8673\\\hline
3,75&0,75&2,3&5,495&3,36595\end{array}\right)\\
\stackrel{\begin{array}{rcl}
V^\prime&=&V-0,71IV\\\end{array}}{\rightsquigarrow}&&
\left(\begin{array}{rrrrr}
I&II&III&IV&V\\
1&0&0&0&0\\
0,5&0,7&0&0&0\\
0,5&-0,1&1,7&0&0\\
0&0&0,7&4,13&0\\
0&0,2&1,5&2,73&-1,071\\\hline
3,75&0,75&2,3&5,495&-0,5355\end{array}\right)\\
\end{eqnarray*}
Somit ist 
\begin{eqnarray*}
-1,071E=-0,5355&\Leftrightarrow&E=\frac{-0,53355}{-1,071}=0,5\\
4,13D+2,73E=5,495&\Leftrightarrow&D=\frac{5,495-2,73\cdot 0,5}{4,13}=1\\
1,7C+0,7D+1,5E=2,3&\Leftrightarrow&C=\frac{2,3-1,5\cdot 0,5-0,7\cdot 1}{1,7}=0,5\\
0,7B-0,1C+0D+0,2E=0,75&\Leftrightarrow&B=\frac{0,75-0,2\cdot 0,5+0,1\cdot 0,5}{0,7}=1\\
1A+0,5B+0,5C+0D+0E=3,75&\Leftrightarrow&A=\frac{3,75-0,5\cdot 0,5-0,5\cdot 1}{1}=3\\
\end{eqnarray*}
Also kommen beim Landwirt $3$ Gewichtsanteile der Schadstoffe, bei der Rohproduktlagerung $0,1$, beim Veredelungsbetrieb $0,5$, beim Grossist und Transport $1$, und beim Einzelhandel $0,5$ hinzu.
\end{document}

