\documentclass{article}
\usepackage{german}
\usepackage{pictex}
\usepackage{amssymb}
\include{commands}
\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 7\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 7\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 7}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Die Vektoren $u,v,w\in \Q^n$ seien linear unabh"angig. Zeigen Sie, dass die Familie $(u+v-2w,u-v-w,u+w)$ linear unabh"angig, und die Familie ($u+v-3w,u+3v-w,v+w)$ linear abh"angig ist.}
\subsubsection*{a.)}
Damit die Familie $(u+v-2w,u-v-w,u+w)$ linear unabh"angig ist, darf bei einer Linearkombination der Linearkombinationen 
\begin{eqnarray*}
\alpha(u+v-2w)+\beta(u-v-w)+\gamma(u+w)
\end{eqnarray*}
nur mit der trivialen L"osung $\alpha=\beta=\gamma=0$ der Nullvektor ausgedr"uckt werden k"onnen:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{llrcrcrcl}
I&&1\alpha&+&1\beta&+&1\gamma&=&0\\
II&&1\alpha&-&1\beta&+&0\gamma&=&0\\
III&&-2\alpha&-&1\beta&+&1\gamma&=&0\\\hline
IV&III-I&-3\alpha&-&2\beta&&&=&0\\
V&IV-2II&-5\alpha&&&&&=&0\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
Somit kann nur f"ur $\alpha=\beta=\gamma=0$ der Nullvektor ausgedr"uckt werden, somit ist die Familie unabh"angig.\\
\subsubsection*{b.)}
Die Familie $(u+v-3w,u+3v-w,v+w)$ ist nicht linear unabh"angig, da die Linearkombination $(u+2v-w)$ durch die beiden anderen ausgedr"uckt werden kann: 
\begin{eqnarray*}
(u+v-3w)+2\cdot(v+w)&=&u+2v-w
\end{eqnarray*}
\subsection*{2.) Bestimmen Sie eine Basis des Untervektorraumes von $\Q^5$, der von den Vektoren $u_1=(1,2,-2,2,-1)^T,\;u_2:=(1,2,-1,3,-2)^T$ $u_3:=(2,4,-7,1,1)^T,\;u_4:=(1,2,-5,-1,2)^T,\;u_5:=(1,2,-3,1,0)^T$ aufgespannt wird.}
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{rrrrr}1&2&-2&2&-1\\1&2&-1&3&-2\\2&4&-7&1&1\\1&2&-5&-1&2\\1&2&-3&1&0\end{array}\right)&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrrr}1&2&-2&2&-1\\0&0& 1&1&-1\\2&4&-7&1&1\\1&2&-5&-1&2\\1&2&-3&1&0\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrrr}1&2&-2&2&-1\\0&0& 1&1&-1\\0&0&-3&-3&3\\1&2&-5&-1&2\\1&2&-3&1&0\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrrr}1&2&-2&2&-1\\0&0& 1&1&-1\\0&0&-3&-3&3\\0&0&-3&-3&3\\1&2&-3&1&0\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrrr}1&2&-2&2&-1\\0&0& 1&1&-1\\0&0&-3&-3&3\\0&0&-3&-3&3\\0&0&-1&-1&1\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrrr}1&2&-2&2&-1\\0&0&1&1&-1\\0&0&0&0& 0\\0&0& 0& 0&0\\0&0& 0& 0&0\\\end{array}\right)\\
\end{eqnarray*}
%Somit l"a"st sich $u_3$ darstellen als 
%\begin{eqnarray*}
%u_3=u_1+u_4
%\end{eqnarray*}
Somit besteht die Basis aus den Vektoren $v_1:=(1,2,-2,2,-1)^T,\;v_2:=(0,0,1,1,-1)^T$.\\

Damit ist $q_1=1v_1+0v_2,\;q_2=1v_1+1v_2,\;q_3=2v_1-3v_2,\;q_4=1v_1-3v_2,$ und $q_5=1v_1-1v_2$

\subsection*{3.) Gegeben seien die Matrizen $A:=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&2\\0&3&5\\1&8&-7\\\end{array}\right),
\;B:=\left(\begin{array}{rrrr}-1&0&1&0\\0&1&0&-1\\1&0&-1&0\\\end{array}\right),
\;C:=\left(\begin{array}{r}1\\0\\8\\-7\\\end{array}\right),\;D:=(-1,2,0,8),\;E:=\left(\begin{array}{cc}1&4\\0&5\\6&8\\\end{array}\right)$. Berechnen Sie alle m"oglichen Produkte.}
\subsubsection*{a.)}
Mit $A$ lassen sich die Matrizen $A$, $B$ und $E$ multiplizieren:\\
$AA=\left(\begin{array}{rrr}
1\cdot 1+1\cdot 0+2\cdot 1&-1\cdot 1-1\cdot 3+2\cdot 8&1\cdot 2-1\cdot 5-2\cdot 7\\
0\cdot 1+3\cdot 0+5\cdot 1&0\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 8&0\cdot 2+3\cdot 5-5\cdot 7\\
1\cdot 1+8\cdot 0-7\cdot 1&-1\cdot 1+8\cdot 3-7\cdot 8&1\cdot 2+8\cdot 5+7\cdot 7
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rrr}
3&12&-17\\
5&49&-20\\
-6&-33&91
\end{array}\right)$\\
%%
$AB=\left(\begin{array}{rrrr}
-1\cdot 1+1\cdot 0+2\cdot 1&1\cdot 0-1\cdot 1+2\cdot 0&1\cdot 1+1\cdot 0-2\cdot 1&1\cdot 0+1\cdot 1+2\cdot 0\\
0\cdot 1+3\cdot 0+5\cdot 1&0\cdot 0+3\cdot 1+5\cdot 0&0\cdot 1+3\cdot 0-5\cdot 1&0\cdot 0-3\cdot 1+5\cdot 0\\
-1\cdot 1+8\cdot 0-7\cdot 1&1\cdot 0+8\cdot 1+7\cdot 0&1\cdot 1+8\cdot 0+7\cdot 1&1\cdot 0-8\cdot 1+7\cdot 0
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rrrr}
1&-1&-1&1\\
5&3&-5&-3\\
-8&8&8&-8
\end{array}\right)$\\
$AE=\left(\begin{array}{rr}
1\cdot 1+1\cdot 0+2\cdot 6&1\cdot 4-1\cdot 5+2\cdot 8\\
0\cdot 1+3\cdot 0+5\cdot 6&0\cdot 4+3\cdot 5+5\cdot 8\\
1\cdot 1+8\cdot 0-7\cdot 6&1\cdot 4+8\cdot 5-7\cdot 8
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rr}13&15\\30&55\\-41&-12\end{array}\right)$\\
\subsubsection*{b.)}
Mit $B$ l"a"st sich nur die Matrix $C$ multiplizieren:\\
$BC=\left(\begin{array}{r}
-1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 8+0\cdot 7\\
0\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 8+1\cdot 7\\
1\cdot 1+0\cdot 0-1\cdot 8+0\cdot 7
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{r}
7\\
7\\
-7
\end{array}\right)$\\
\subsubsection*{c.)}
Mit $C$ l"a"st sich nur die Matrix $D$ multiplizieren:\\
$CD=\left(\begin{array}{rrrr}
-1\cdot 1&1\cdot 2&1\cdot 0&1\cdot 8\\
0\cdot 1&0\cdot 2&0\cdot 0&0\cdot 8\\
-8\cdot 1&8\cdot 2&8\cdot 0&8\cdot 8\\
7\cdot 1&-7\cdot 2&7\cdot 0&-7\cdot 8
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rrrr}
-1&2&0&8\\
0&0&0&0\\
-8&16&0&64\\
7&-14&0&-56\\\end{array}\right)$\\
\subsubsection*{d.)}
Mit $D$ l"a"st sich nur die Matrix $C$ multiplizieren:\\
$DC=\left(\begin{array}{r}
-1\cdot 1+2\cdot 0+0\cdot 8-8\cdot 7
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{r}
-57
\end{array}\right)$\\
\subsubsection*{e.)}
Mit $E$ l"a"st sich keine Matrix multiplizieren:\\

\subsection*{4.) Eine relle $3\times 3$-Matrix hei"st ein "`magisches Quadrat"', wenn alle Zeilensummen, alle Spaltensummen, alle Diagonalsummen gleich sind. Fasse die Menge $M$ aller magischen Quadrate als Teilmenge des $\R^9$ auf. Zeigen Sie, dass $M$ ein Untervektorraum des $\R^9$ ist und geben Sie eine Basis an.}
Man kann ein magisches Quadrat
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
a&b&c\\\hline
d&e&f\\\hline
g&h&i\\\hline
\end{array}
\end{eqnarray*}
als lineares Gleichungssystem auffassen bei dem die folgenden Gleichungen erf"ullt sein m"ussen:
\begin{eqnarray*}
Zeilensummen\\
a+b+c&=&x\\
d+e+f&=&x\\
g+h+i&=&x\\
Spaltensummen\\
a+d+g&=&x\\
b+e+h&=&x\\
c+f+i&=&x\\
Diagonalen\\
a+e+i&=&x\\
c+e+g&=&x\\
\end{eqnarray*}
wobei $x$ die gew"unschte Summe darstellt.
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{llrrrrrrrrl}
 I&&1a&+1b&+1c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=x\\
II&&0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+0g&+0h&+0i=x\\
 III&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+1g&+1h&+1i=x\\
IV&&1a&+0b&+0c&+1d&+0e&+0f&+1g&+0h&+0i=x\\
 V&&0a&+1b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+1h&+0i=x\\
VI&&0a&+0b&+1c&+0d&+0e&+1f&+0g&+0h&+1i=x\\
 VII&&1a&+0b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+0h&+1i=x\\
VIII&&0a&+0b&+1c&+0d&+1e&+0f&+1g&+0h&+0i=x\\\hline
 I&&1a&+1b&+1c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=x\\
II&&0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+0g&+0h&+0i=x\\
 III&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+1g&+1h&+1i=x\\
IX&IV-I&0a&-1b&-1c&+1d&+0e&+0f&+1g&+0h&+0i=0\\
 V&&0a&+1b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+1h&+0i=x\\
VI&&0a&+0b&+1c&+0d&+0e&+1f&+0g&+0h&+1i=x\\
 X&VII-I &0a&-1b&-1c&+0d&+1e&+0f&+0g&+0h&+1i=0\\
VIII&&0a&+0b&+1c&+0d&+1e&+0f&+1g&+0h&+0i=x\\\hline
 I&&1a&+1b&+1c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=x\\
 V&&0a&+1b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+1h&+0i=x\\
VI&&0a&+0b&+1c&+0d&+0e&+1f&+0g&+0h&+1i=x\\
IX&&0a&-1b&-1c&+1d&+0e&+0f&+1g&+0h&+0i=0\\
II&&0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+0g&+0h&+0i=x\\
 III&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+1g&+1h&+1i=x\\
 X&&0a&-1b&-1c&+0d&+1e&+0f&+0g&+0h&+1i=0\\
VIII&&0a&+0b&+1c&+0d&+1e&+0f&+1g&+0h&+0i=x\\\hline
\end{array}\\
\begin{array}{llrrrrrrrrl}
 I&&1a&+1b&+1c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=x\\
 V&&0a&+1b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+1h&+0i=x\\
VI&&0a&+0b&+1c&+0d&+0e&+1f&+0g&+0h&+1i=x\\
XI&IX+V&0a&+0b&-1c&+1d&+1e&+0f&+1g&+1h&+0i=x\\
II&&0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+0g&+0h&+0i=x\\
 III&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+1g&+1h&+1i=x\\
 XII&X+V &0a&+0b&-1c&+0d&+2e&+0f&+0g&+1h&+1i=x\\
VIII&&0a&+0b&+1c&+0d&+1e&+0f&+1g&+0h&+0i=x\\\hline
 I&&1a&+1b&+1c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=x\\
 V&&0a&+1b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+1h&+0i=x\\
VI&&0a&+0b&+1c&+0d&+0e&+1f&+0g&+0h&+1i=x\\
XIII&XI+VI &0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+1g&+1h&+1i=2x\\
II&&0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+0g&+0h&+0i=x\\
 III&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+1g&+1h&+1i=x\\
 XIV&XII+VI&0a&+0b&+0c&+0d&+2e&+1f&+0g&+1h&+2i=2x\\
XV&VIII-VI &0a&+0b&+0c&+0d&+1e&-1f&+1g&+0h&-1i=0\\\hline
 I&&1a&+1b&+1c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=x\\
 V&&0a&+1b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+1h&+0i=x\\
VI&&0a&+0b&+1c&+0d&+0e&+1f&+0g&+0h&+1i=x\\
XIII&&0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+1g&+1h&+1i=2x\\
 XVI&II-XIII &0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&-1g&-1h&-1i=-x\\
 III&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+1g&+1h&+1i=x\\
 XIV&&0a&+0b&+0c&+0d&+2e&+1f&+0g&+1h&+2i=2x\\
XV&&0a&+0b&+0c&+0d&+1e&-1f&+1g&+0h&-1i=0\\\hline
 I&&1a&+1b&+1c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=x\\
 V&&0a&+1b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+1h&+0i=x\\
VI&&0a&+0b&+1c&+0d&+0e&+1f&+0g&+0h&+1i=x\\
XIII&&0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+1g&+1h&+1i=2x\\
XV&&0a&+0b&+0c&+0d&+1e&-1f&+1g&+0h&-1i=0\\
 III&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+1g&+1h&+1i=x\\
XVII&XIV-2XV &0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+3f&-2g&+1h&+4i=2x\\
 XVI&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&-1g&-1h&-1i=-x\\\hline
 I&&1a&+1b&+1c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=x\\
 V&&0a&+1b&+0c&+0d&+1e&+0f&+0g&+1h&+0i=x\\
VI&&0a&+0b&+1c&+0d&+0e&+1f&+0g&+0h&+1i=x\\
XIII&&0a&+0b&+0c&+1d&+1e&+1f&+1g&+1h&+1i=2x\\
XV&&0a&+0b&+0c&+0d&+1e&-1f&+1g&+0h&-1i=0\\
XVII&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+3f&-2g&+1h&+4i=2x\\
 III&&0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+1g&+1h&+1i=x\\
 XVIII&XVI+III &0a&+0b&+0c&+0d&+0e&+0f&+0g&+0h&+0i=0\\\hline
\end{array}
\end{eqnarray*}
Mit $g+h+i=x$ ergibt sich somit
\begin{eqnarray*}
3f&=&2x+2g-1h-4i\\
\Leftrightarrow f&=&\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}g-\frac{1}{3}h-\frac{4}{3}i\\
\Leftrightarrow f&=&\frac{4}{3}g+\frac{1}{3}h-\frac{2}{3}i\\\\
e&=&f-g+i\\
\Leftrightarrow e&=&\frac{4}{3}g+\frac{1}{3}h-\frac{2}{3}i-g+i\\
\Leftrightarrow e&=&\frac{1}{3}g+\frac{1}{3}h+\frac{1}{3}i\\\\
d&=&2x-e-f-g-h-i\\
\Leftrightarrow d&=&2g+2h+2i-\frac{1}{3}g-\frac{1}{3}h-\frac{1}{3}i-\frac{4}{3}g-\frac{1}{3}h+\frac{2}{3}i-g-h-i\\
\Leftrightarrow d&=&-\frac{2}{3}g+\frac{1}{3}h+\frac{4}{3}i\\\\
c&=&x-f-i\\
\Leftrightarrow c&=&g+h+i-\frac{4}{3}g-\frac{1}{3}h+\frac{2}{3}i-i\\
\Leftrightarrow c&=&-\frac{1}{3}g+\frac{2}{3}h+\frac{2}{3}i\\\\
b&=&x-e-h\\
\Leftrightarrow b&=&g+h+i-\frac{1}{3}g-\frac{1}{3}h-\frac{1}{3}i-h\\
\Leftrightarrow b&=&\frac{2}{3}g-\frac{1}{3}h+\frac{2}{3}i\\\\
a&=&x-b-c\\
\Leftrightarrow a&=&g+h+i-\frac{2}{3}g+\frac{1}{3}h-\frac{2}{3}i+\frac{1}{3}g-\frac{2}{3}h-\frac{2}{3}i\\
\Leftrightarrow a&=&\frac{2}{3}g+\frac{2}{3}h-\frac{1}{3}i
\end{eqnarray*}
Dies l"a"st sich auch in Tupelschreibweise ausdr"ucken:
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{r}a\\b\\c\\d\\e\\f\\g\\h\\i\end{array}\right)&=&
g\cdot \left(\begin{array}{r}\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}\\1\\0\\0\end{array}\right)+
h\cdot \left(\begin{array}{r}\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\0\\1\\0\end{array}\right)+
i\cdot \left(\begin{array}{r}-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\0\\0\\1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Da die drei letzten Elemente nur in je einem Vektor eine $1$ enthalten und in den anderen beiden jeweils eine $0$, so ist nur durch die triviale L"osung $g=h=i=0$ der Nullvektor darstellbar. Damit sind sie linear unabh"angig.\\
Somit sind $q_1:=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{3},1,0,0\right),\;q_2:=\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,1,0\right),\;q_3:=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3},0,0,1\right)$ diejenigen Vektoren, die einen dreidimensionalen Untervektorraum im $\R^9$ aufspannen. \\
\end{document}

