\documentclass{article}
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\include{commands}
\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 6\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 6\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 6}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Im $\R^5$ seien die Vektoren $v_1=(1,2,3,4,0),\;v_2=(-1,1,-2,-3,3),\;v_3=(1,-1,2,3,-3),\;v_4=(2,10,14,10,10)$ und $w_1=(1,6,6,8,6),\;w_2=(1,2,1,0,3),\;w_3=(2,4,2,2,-4),\;w_4=(-1,2,1,3,-2)$ gegeben. W"ahle aus $v_1,v_2,v_3,v_4$ bzw. $w_1,w_2,w_3,w_4$ Vektoren aus, die eine Basis  von $L(v_1,v_2,v_3,v_4)$ bzw. $L(w_1,w_2,w_3,w_4)$ bilden.}
\begin{description}
\item[a.)]{%\subsubsection*{a.)}
Der Vektor $v_3$ l"a"st sich durch Linearkombination aus den anderen Vektoren darstellen:
\begin{eqnarray*}
0\cdot \left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\\0\end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\1\\-2\\-3\\3\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{r}2\\10\\14\\10\\10\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{r}1\\-1\\2\\3\\-3\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
F"ur eine Linearkombination $av_1+bv_2+cv_4$ l"a"st sich nur im trivialen Fall $a=b=c=0$ der Nullvektor ausdr"ucken:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{lrcrcrcl}
I&1a&-&1b&+&2c&=&0\\
II&2a&+&1b&+&10c&=&0\\
III&3a&-&2b&+&14c&=&0\\
IV&4a&-&3b&+&10c&=&0\\
V&0a&+&3b&+&10c&=&0\\\hline
V^\prime&&&&&10c&=&-3b\\
IV^\prime&4a&&&+&20c&=&0\\
IV^{\prime\prime}&&&&&10c&=&2a\\
IV^{\prime\prime\prime}&&&&&-3b&=&2a\\
II^{\prime}&-3b&+&1b&-&3b&=&0\\
II^{\prime\prime}&&&&&b&=&0
\end{array}
\end{eqnarray*}
Somit sind $v_1$, $v_2$ und $v_4$ linear unabh"angig, und bilden somit eine dreidimensionale Basis von $L(v_1,v_2,v_3,v_4)$.
}
\item[b.)]{
%\subsubsection*{b.)}
F"ur eine Linearkombination $aw_1+bw_2+cw_3+dw_4$ l"a"st sich nur im trivialen Fall $a=b=c=d=0$ der Nullvektor ausdr"ucken:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{llrcrcrcrcl}
I & &1a&+&1b&+&2c&-&1d&=&0\\
II& &6a&+&2b&+&4c&+&2d&=&0\\
III&&6a&+&1b&+&2c&+&1d&=&0\\
IV &&8a&+&0b&+&2c&+&3d&=&0\\
V  &&6a&+&3b&-&4c&-&2d&=&0\\\hline
VI:&II-6I&&-&4b&-&8c&+&8d&=&0\\
VII:&III-6I&&-&5b&-&10c&+&7d&=&0\\
VIII:&IV-8I&&-&8b&-&10c&+&9d&=&0\\
IX:&V-6I&&-&3b&-&16c&+&6d&=&0\\\hline
X:&VIII-2VI&&&&&6c&-&7d&=&0\\
XI:&3VI-4IX&&&&&40c&&&=&0\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
Somit sind $w_1,\;w_2,\;w_3$ und $w_4$ linear unabh"angig, und bilden somit die vierdimensionale Basis von $L(w_1,w_2,w_3,w_4)$.
}
\end{description}
\subsection*{2.) Sei $V=\Q[X]$ der $\Q$-Vektorraum aller Polynome in der Unbestimmten $X$ "uber dem K"orper $\Q$. Ist es m"oglich, das Polynom $v=X^2+4X-3$ als Linearkombination $f_1=X^2-2X+5,\;f_2=2X^2-3X,\;f_3=X+3$ zu schreiben? Wenn ja, geben Sie eine solche Linearkombination an.}
In Tupelschreibweise seien $f_1:=(5,-2,1),\;f_2:=(0,-3,2)$ und $f_3:=(3,1,0)$ Diese Vektoren sind linear unabh"angig:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{llrcrcrcl}
I&&5a&-&0b&+&3c&=&0\\
II&&-2a&-&3b&+&1c&=&0\\
III&&1a&+&2b&&&=&0\\\hline
IV&II+2III&&&1b&+&1c&=&0\\
V&I-5III&&-&10b&+&3c&=&0\\\hline
VI&V+10IV&&&&&13c&=&0
\end{array}
\end{eqnarray*}
Somit spannen sie einen Untervektorraum von $V$ auf.\\

Es ist m"oglich, das Polynom $v$ durch eine Linearkombination aus $af_1+bf_2+cf_3$ auszudr"ucken:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{llrcrcrcl}
I&&5a&-&0b&+&3c&=&-3\\
II&&-2a&-&3b&+&1c&=&4\\
III&&1a&+&2b&&&=&1\\\hline
IV&2II+3III&-a&&&+&2c&=&11\\
V&2I-3IV&13a&&&&&=&-39\\\hline\hline
V^\prime&&a&&&&&=&-3\\
\hline
II^\prime&&1\cdot(-3)&+&2b&&&=&1\\
II^{\prime\prime}&&&&2b&&&=&4\\
II^{\prime\prime\prime}&&&&b&&&=&2\\
\hline
I^\prime&&5\cdot (-3)&&&+&3c&=&-3\\
I^{\prime\prime}&&&&&&3c&=&12\\
I^{\prime\prime\prime}&&&&&&c&=&4\\\hline
\end{array}
\end{eqnarray*}

Somit l"a"st $v$ sich schreiben als $v=-3f_1+2f_2+4f_3$, damit liegt es in $\Q[X]$, da alle Koeffizienten ganze Zahlen darstellen. 
\subsection*{3.) Sei $V_n\subset \Q[X]$ der $\Q$-Vektorraum aller Polynome in der Unbestimmten $X$ "uber dem K"orper $\Q$ vom Grad $\leqslant n$ und $W_n:=\{f\in V_n\mid f(0)=f(1)=0\}$. Bestimmen Sie die Dimensionen dieser Vektorr"aume}
{\bf Behauptung:} Die Dimension von $W_n$ ist $n-1$.\\
$ $\\
{\bf Beweis:} Per Induktion "ueber $n$.
\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$A(1),\;A(2),\;A(3)$\\
\begin{enumerate}
\item{
Bei Polynomen ersten Grades gilt nur f"ur $f(x)=0,\forall x\in \Q$ auch $f(0)=f(1)=0$. Er hat daher die Dimension 0.\\
}
\item{
Die Polynome, f"ur welche $f(0)=f(1)=0$ gilt, lassen sich schreiben als
\begin{eqnarray*}
\alpha(x+0)\cdot(x-1)\cdots
\end{eqnarray*}
Da Polynome zweiten Grades maximal zwei Nullstellen besitzen k"onnen, so sind dies alle 
\begin{eqnarray*}
\alpha\cdot (x+0)\cdot(x-1)&=&\alpha x^2-\alpha x
\end{eqnarray*}
als Tupel aufgeschrieben somit $\alpha\cdot(0,-1,1)$. Damit ist die Dimension dieses Vektorraumes gleich 1.\\
}
\item{
Polynome dritten Grades, bei welchen $f(0)=f(1)=f(b)=0$ gilt, lassen sich schreiben als
\begin{eqnarray*}
\alpha\cdot (x+0)\cdot(x-1)\cdot(x-b)&=&\alpha(x^2-x)(x-b)=\alpha x^3-\alpha x^2+\alpha bx^2-\alpha bx
\end{eqnarray*}
da $b$ unabh"angig von $\alpha$ gew"ahlt wurde, l"a"st sich ein $\beta:=\alpha b$ definieren, in Tupelschreibweise enth"alt $W_3$ somit alle Vektoren
\begin{eqnarray*}
\alpha\cdot(0,0,-1,1)+\beta\cdot(0,-1,1,0)
\end{eqnarray*}
$(0,0,-1,1)$ und $(0,-1,1,0)$ sind linear unabh"angig, damit hat dieser Vektorraum die Dimension 2.
}
\end{enumerate}
}
\item[Induktionsschritt]{$A(n)\Longrightarrow A(n+1)$\\

Das Polynom vom Grade $n+1$ l"a"st sich schreiben als
\begin{eqnarray*}
\alpha(x+0)\cdot(x-1)\cdot\dots\cdot (x-c)
\end{eqnarray*}
wobei $c$ die $n+1$-te Nullstelle darstellt. Diese kann unabh"angig von den vorhergehenden gew"ahlt werden, damit kommt mit jedem Polynomgrad genau eine Dimension hinzu. Die Dimension von $W_{n+1}$ ist somit $n$.
}
\end{description}
Die Dimension von $W_n$ ist also $n-1$.\\
$ $\\
q.e.d.
\subsection*{4.) Zeigen Sie, dass jede endliche Teilfamilie der Familie der Funktionen $\Big(\sin (nt)\Big)_{n\in \N}$ linear unabh"angig ist.}
{\bf Behauptung:} Alle endlichen Teilfamilien der Familie der Funktionen $\Big(\sin (nt)\Big)_{n\in \N_0}$ sind linear unabh"angig, da sich nur f"ur $n:=0$ die Nullfunktion darstellen l"a"st; dann n"amlich gilt $\sin(0\cdot t)=0,\;\forall t\in \R$.\\
$ $\\
{\bf Beweis:} Per Induktion "uber die Anzahl der Teilfamilien $f$.
\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$A(2)$\\
$f:=2$\\

Die Linearkombination zweier Teilfamilen sei 
\begin{eqnarray*}
\alpha\sin(nt)+\beta\sin(mt),\;\alpha,\beta\in \R
\end{eqnarray*}
Die Sinusfunktion hat bei ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ Nullstellen. F"ur zwei Funktionen $\sin(mt)$ und $\sin(nt),\;m,n\in N,\;m\ne 0,\;n\ne 0,\;m<n$ existiert bei $t=\pi\cdot m\cdot n$ eine Nullstelle. Somit gilt dort
\begin{eqnarray*}
\alpha\sin(nt)+\beta\sin(mt)&=&0,\;\forall \alpha,\beta\in \R
\end{eqnarray*}
Sei aber nun ohne Einschr"ankung $m<n$; so besitzt $\sin(mt)$ im Intervall $[0:mn\pi]$ nur $m$ Nullstellen, $\sin(nt)$ allerdings $n$ St"uck. 

\beginpicture
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\plot 0 0.0 1 0.1873813145857246 2 0.3681245526846779 3 0.5358267949789965 4 0.6845471059286886 5 0.8090169943749475 6 0.9048270524660195 7 0.9685831611286311 8 0.9980267284282716 9 0.9921147013144779 10 0.9510565162951536 11 0.8763066800438637 12 0.7705132427757895 13 0.6374239897486899 14 0.4817536741017156 15 0.3090169943749475 16 0.12533323356430454 17 -0.0627905195293129 18 -0.24868988716485457 19 -0.42577929156507227 20 -0.587785252292473 21 -0.7289686274214113 22 -0.8443279255020149 23 -0.9297764858882511 24 -0.9822872507286885 25 -1.0 26 -0.9822872507286887 27 -0.9297764858882516 28 -0.8443279255020155 29 -0.7289686274214121 30 -0.5877852522924734 31 -0.425779291565073 32 -0.24868988716485535 33 -0.06279051952931415 34 0.1253332335643033 35 0.3090169943749472 36 0.4817536741017149 37 0.6374239897486892 38 0.7705132427757887 39 0.8763066800438631 40 0.9510565162951535 41 0.9921147013144778 42 0.9980267284282716 43 0.9685831611286311 44 0.90482705246602 45 0.8090169943749476 46 0.6845471059286897 47 0.5358267949789972 48 0.3681245526846796 49 0.18738131458572568 50 0 51 -0.1873813145857232 52 -0.36812455268467725 53 -0.5358267949789951 54 -0.6845471059286878 55 -0.8090169943749472 56 -0.9048270524660189 57 -0.968583161128631 58 -0.9980267284282714 59 -0.992114701314478 60 -0.9510565162951538 61 -0.8763066800438644 62 -0.7705132427757898 63 -0.6374239897486912 64 -0.4817536741017163 65 -0.3090169943749479 66 -0.12533323356430578 67 0.06279051952931253 68 0.24868988716485294 69 0.42577929156507155 70 0.5877852522924727 71 0.7289686274214104 72 0.8443279255020146 73 0.9297764858882507 74 0.9822872507286885 75 1.0 76 0.9822872507286889 77 0.9297764858882518 78 0.8443279255020162 79 0.7289686274214124 80 0.5877852522924736 81 0.42577929156507416 82 0.2486898871648557 83 0.0627905195293154 84 -0.12533323356430293 85 -0.3090169943749451 86 -0.4817536741017153 87 -0.637423989748689 88 -0.7705132427757879 89 -0.876306680043862 90 -0.9510565162951534 91 -0.9921147013144777 92 -0.9980267284282718 93 -0.9685831611286312 94 -0.9048270524660201 95 -0.8090169943749489 96 -0.6845471059286913 97 -0.5358267949789975 98 -0.36812455268468 99 -0.1873813145857278 100 0 /

\put {$n:=6$} at 15 -0.75
\put {$n:=3$} at 35 -0.75
\put {$n:=2$} at 75 -0.6
\endpicture

Wegen $m<n$ existieren somit Werte f"ur $t$, an denen nur f"ur $\beta:=0$ das Ergebnis der Linearkombination gleich 0 ist. Damit mu"s auch $\alpha:=0$ gelten, damit $\alpha\sin(nt)+\beta\sin(mt)=0,\;\forall t\in \R$ gilt.\\
Somit l"a"st sich die Nullfunktion nur trivial ausdr"ucken, somit sind $\sin(nt)$ und $\sin(mt)$ linear unabh"angig.
}
\item[Induktionsschritt]{$A(f)\Longrightarrow A(f+1)$\\
Bildet man als Linearkombination die endliche Summe
\begin{eqnarray*}
\sum\limits^f_{i=1}\alpha_n\sin(n_i t)=x
\end{eqnarray*}
so ist jede Komponente per I.V. linear unabh"angig von einer Teilfamilie $\sin(mt)$ mit $m\ne n_i$. Damit kann $x$ keine Teilfamilie von $\Big(\sin (nt)\Big)_{n\in \N_0}$ sein, also l"a"st sich keine Teilfamilie durch eine endliche Summe durch die anderen Teilfamilien ausdr"ucken. Somit wurde die Behauptung beweisen.
}
\end{description}
q.e.d.

\end{document}

