\documentclass{article}
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\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 4\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 4\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 4}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Sei $K$ ein K"orper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $0$ das Nullelement in $V$. Zeigen Sie f"ur $a\in K,\;v\in V$: $\alpha 0=0,\;0v=0,\;v+(-1)v=0,\;\alpha^{-1}(\alpha v)=v$, falls $\alpha \ne 0$.}
F"ur einen Vektor $v:=(x_1,\dots,x_n)\in K^n$ gilt:
\begin{eqnarray*}
&\alpha 0=\alpha(0,\dots,0)=(\alpha\cdot 0,\dots,\alpha\cdot 0)=(0,\dots,0)=0\\
\\
&0v=0\cdot (x_1,\dots,x_n)=(0\cdot x_1,\dots,0\cdot x_n)=(0,\dots,0)=0\\
\\
&v+(-1)v=(x_1,\dots,x_n)+(-1)(x_1,\dots,x_n)=(x_1,\dots,x_n)+(-1\cdot x_1,\dots,-1\cdot x_n)\\
&=(x_1,\dots,x_n)+(-x_1,\dots,-x_n)=(x_1-x_1,\dots,x_n-x_n)=(0,\dots 0)=0\\
\\
&\alpha^{-1}(\alpha v)=\alpha^{-1}[\alpha(x_1,\dots,x_n)]=\alpha^{-1}(\alpha\cdot x_1,\dots,\alpha\cdot x_n)\\
&=(\alpha^{-1}\cdot \alpha \cdot x_1,\dots,\alpha^{-1}\cdot \alpha \cdot x_n)=(1\cdot x_1,\dots,1\cdot x_n)=(x_1,\dots,x_n)=v
\end{eqnarray*}
\subsection*{2.) Seien $U,V,W$ Vektorr"aume "uber dem K"orper $K$. Geben Sie einen linearen Isomorphismus $(U\oplus V)\oplus W\cong U\oplus (V\oplus W)$ an.}
%Eine bijektive Abbildung $f:X\longrightarrow Y$ ist ein Isomorphismus, wenn f"ur alle $x_1,x_2\in X$ gilt:
%\begin{eqnarray*}
%f(x_1+x_2)&=&f(x_1)+f(x_2)
%\end{eqnarray*}
%$((u,v),w)\cong (u,(v,w))$

\subsection*{3.) Sei $K$ ein K"orper und $\varphi:K^n\rightarrow K$ eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass es Skalare $a_1,\dots,a_n\in K$ gibt, so dass f"ur alle $x=(x_1,\dots,x_n)\in K^n$ gilt: $\varphi(x)=\sum\limits^n_{i=1}a_ix_i$.}
Eine Abbildung ist linear, wenn gilt
\begin{description}
\item[i.)]{$\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)$}
\item[ii.)]{$\varphi(\lambda u)=\lambda\varphi(u)$}
\end{description}
{\bf Behauptung:} Nach der zweiten Eigenschaft gilt mit $\lambda:=0:\;\varphi(0\cdot u)=0\cdot\varphi(u)\Leftrightarrow \varphi(0)=0=\sum\limits^n_{i=1}a_i\cdot 0$ F"ur den Nullvektor lassen sich somit beliebige Werte f"ur $a_i\in K$ einsetzen. F"ur alle anderen Vektoren lassen sich Werte aus $K$ finden, so da"s $\varphi(x)=\sum\limits^n_{i=1}a_ix_i$ gilt.\\
$ $\\
{\bf Beweis:} Per Induktion "uber die Anzahl $m$ von 0 verschiedener Komponenten in $x$:\\

\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$m:=1$\\
Wenn fast alle $x_i=0$, und nur ein $x_j\ne 0$, so besitzt dieses im K"orper $K$ ein multiplikatives Inverses $x_j^{-1}$. W"ahlt man f"ur $a_j$ nun $\varphi(x)x_j^{-1}$, so ist die Summe
\begin{eqnarray*}
\sum\limits^n_{i=1}a_ix_i=a_1\cdot 0+a_2\cdot 0+\dots+a_j\cdot x_j+\dots+a_n\cdot 0=a_j\cdot x_j=\varphi(x)x_j^{-1}x_j=\varphi(x)
\end{eqnarray*} 
$\varphi(x)\in K,\;x_j^{-1}\in K$, wegen der Abgeschlossenheit von $(K,\cdot)$ liegt auch $\varphi(x)x_j^{-1}$ in $K$, damit existiert ein $a_j\in K$ welches die gew"unschten Eigenschaften erf"ullt.\\
}
\item[Induktionsschritt]{$A(m)\Longrightarrow A(m+1)$\\
Ein Vektor $x$ l"a"st sich auch als Summe von Vektoren $(x_1,0,\dots,0)+(0,x_2,0,0\dots,0)+\dots+(0,\dots,0,x_n)$ schreiben.\\
Wegen der Eigenschaft i.) von linearen Abbildungen mu"s 
\begin{eqnarray*}
\varphi\Big((x_1,0,\dots,0),+(0,x_2,0,0\dots,0)+\dots+(0,\dots,0,x_n)\Big)
\end{eqnarray*}
 somit gleich 
\begin{eqnarray*}
\varphi\Big((x_1,0,\dots,0)\Big)+\varphi\Big((0,x_2,0,0\dots,0)\Big)+\dots+\varphi\Big((0,\dots,0,x_n)\Big)\quad(*)
\end{eqnarray*}
 sein.\\
F"ur jede Abbildung $\varphi$ in der Zeile (*) existiert per Induktionsvorraussetzung ein $a_j\in K,\;$ so da"s $a_j\cdot (0,\dots,x_j,\dots,0)=\varphi\Big((0,\dots,x_j,\dots,0)\Big)$ gilt. \\
}
\end{description}
Damit existieren Skalare $a_1,\dots,a_n\in K$, so da"s f"ur alle $x=(x_1,\dots,x_n)\in K^n$ 
\begin{eqnarray*}
\varphi(x)=\sum\limits^n_{i=1}a_ix_i
\end{eqnarray*}
gilt.\\
$ $\\
q.e.d.

\subsection*{4.) Seien $G_i, H_i (i=1,2,3)$ abelsche Gruppen. Die Gruppenhomomorphismen $f_i,g_i,h_i(i=1,2,3)$ m"ogen die folgenden Eigenschaften haben:}
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{ccccc}
G_1&\stackrel{g_1}{\longrightarrow}&G_2&\stackrel{g_2}{\longrightarrow}&G_3\\
f_1\;\downarrow&&f_2\;\downarrow&&f_3\;\downarrow\\
H_1&\stackrel{h_1}{\longrightarrow}&H_2&\stackrel{h_2}{\longrightarrow}&H_3\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
\begin{description}
\item[(a)]{$g_1,h_1$ sind injektiv, $g_2,h_2$ sind surjektiv,}
\item[(b)]{$im(g_1)=ker(g_2)$ und $im(h_1)=ker(h_2)$,}
\item[(c)]{$h_1\circ f_1=f_2\circ g_1$ und $h_2\circ f_2=f_3\circ g_2$}
\end{description}
Zeigen Sie die beiden Aussgagen
\begin{enumerate}
\item{Sind $f_1,f_3$ injektiv, so ist $f_2$ injektiv.}
\item{Sind $f_1,f_3$ surjektiv, so ist $f_2$ surjektiv.}
\end{enumerate}
$g_1,h_1$ sind injektiv
\begin{eqnarray*}
\forall a,b\in G_1:\;g_1(a)&=&g_1(b)\Leftrightarrow a=b\\
\forall c,d\in H_1:\;h_1(c)&=&h_1(c)\Leftrightarrow c=d\\
\end{eqnarray*}
$g_2,h_2$ sind surjektiv
\begin{eqnarray*}
\forall a\in G_3\exists b\in G_2&:&a=g_2(b)\\
\forall c\in H_3\exists d\in H_2&:&c=h_2(d)\\
\end{eqnarray*}
\end{document}

