\documentclass{article}
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\newcommand{\matrixx}[9]{\left(\begin{array}{rrr}{#1}&{#2}&{#3}\\{#4}&{#5}&{#6}\\{#7}&{#8}&{#9}\\\end{array}\right)}
\newcommand{\M}{I\hspace{-0.3em}M}
\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 10\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 10\hfill}
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\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 10}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Bestimmen Sie den Rang der Matrix $\matrixx{1}{t}{t^2} {t}{1}{t} {t^2}{t}{1}$ als Funktion von $t$.}
\begin{eqnarray*}
\matrixx{1}{t}{t^2} {t}{1}{t} {t^2}{t}{1}&\rightsquigarrow &\matrixx{1}{t}{t^2} {0}{1-t^2}{t-t^3} {0}{t-t^3}{1-t^4}\\
&\rightsquigarrow&\matrixx{1}{t}{t^2} {0}{1-t^2}{t-t^3} {0}{0}{1-t^2}\\
&\rightsquigarrow&\matrixx{1}{t}{t^2} {0}{1-t^2}{0} {0}{0}{1-t^2}\\
\end{eqnarray*}
\subsection*{2.) Bestimmen Sie, f"ur welche $\lambda\in \R$ die Matrix $\left(\begin{array}{rrrr}1&\lambda&0&0\\\lambda&1&0&0\\0&\lambda&1&0\\0&0&\lambda&1\end{array}\right)$ invertierbar ist und berechnen Sie gegebenenfalls die inverse Matrix.}
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{rrrr|rrrr}
1&\lambda&0&0			&1&0&0&0\\
\lambda&1&0&0			&0&1&0&0\\
0&\lambda&1&0			&0&0&1&0\\
0&0&\lambda&1			&0&0&0&1\\
\end{array}\right)
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrr|rrrr}
1&\lambda&0&0			&1&0&0&0\\
0&1-\lambda^2&0&0		&-\lambda&1&0&0\\
0&\lambda&1&0			&0&0&1&0\\
0&0&\lambda&1			&0&0&0&1\\
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrr|rrrr}
1&\lambda&0&0			&1&0&0&0\\
0&1&0&0				&-\lambda&\frac{1}{1-\lambda^2}&0&0\\
0&\lambda&1&0			&0&0&1&0\\
0&0&\lambda&1			&0&0&0&1\\
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrr|rrrr}
1&0&0&0				&1&-\frac{\lambda}{1-\lambda^2}&0&0\\
0&1&0&0				&-\lambda&\frac{1}{1-\lambda^2}&0&0\\
0&\lambda&1&0			&0&0&1&0\\
0&0&\lambda&1			&0&0&0&1\\
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrr|rrrr}
1&0&0&0				&1&-\frac{\lambda}{1-\lambda^2}&0&0\\
0&1&0&0				&-\lambda&\frac{1}{1-\lambda^2}&0&0\\
0&0&1&0				&\lambda^2&-\frac{\lambda}{1-\lambda^2}&1&0\\
0&0&\lambda&1			&0&0&0&1\\
\end{array}\right)\\
&\rightsquigarrow&\left(\begin{array}{rrrr|rrrr}
1&0&0&0				&1&-\frac{\lambda}{1-\lambda^2}&0&0\\
0&1&0&0				&-\lambda&\frac{1}{1-\lambda^2}&0&0\\
0&0&1&0				&\lambda^2&-\frac{\lambda}{1-\lambda^2}&1&0\\
0&0&0&1			&-\lambda^3&\frac{\lambda^2}{1-\lambda^2}&0&1\\
\end{array}\right)\\
\end{eqnarray*}
Damit ist die Matrix invertierbar, solange $\lambda\ne 1$ ist.
\subsection*{3.) Im $\R^3$ seien die Basen $A=((1,-1,2)^T,(2,3,7)^T,(2,3,6)^T),\;B=((1,2,2)^T,(-1,3,3)^T,(-2,7,6)^T))$ gegeben. Berechnen Sie die Transformationsmatrix $M^A_B(Id)$}

\subsection*{4.) Seien $f:\R^4\to\R^2$ und $g:\R^2\to\R^3$ gegeben durch $f:\;(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\to(x_1+2x_2+x_3,x_1-x_4)^T,\;g:\;(x_1,x_2)^T\to(x_1+x_2,x_1-x_2,3x_1)^T$. Sei $A:=((1,0,1,0)^T,(1,4,2,2)^T,(1,1,1,1)^T,(2,0,3,0)^T),\;B$ die kanonische Basis des $\R^2,\C:=((1,3,4)^T,\;(2,0,1)^T,\;(1,1,2)^T)$. Zeigen Sie, dass $A$ eine Basis des $\R^4$ und $C$ eine Basis des $\R^3$ ist. Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen von $f,g,g\circ f$ bez"uglich der angegebenen Basen.}
\end{document}

