\documentclass{article}
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\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 1\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 1\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 1}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Sei $E\subset \R^3$ die Menge der Vektoren $(x,y,z)$ mit $x+2y+3z=0$. Geben Sie zwei Vekotren $v,w\in E$ an, so da"s gilt $E=\{\alpha v+\beta w\mid \alpha,\beta \in \R\}$}
\begin{eqnarray*}
&x+2y+3z&=0\\
\Leftrightarrow& x+2y&=-3z\\
\Leftrightarrow& -\frac{x+2y}{3}&=z
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow&v:=\left(\begin{array}{r}x\\y\\-\frac{x+2y}{3}\\\end{array}\right)&w:=\left(\begin{array}{r}x^\prime\\y^\prime\\-\frac{x^\prime+2y^\prime}{3}\\\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
F"ur $x\ne\gamma x^\prime \vee y\ne \gamma y^\prime$.\\

Mit $x:=1,\;y:=1,\;x^\prime:=2,\;y^\prime:=5$ somit:
\begin{eqnarray*}
v=\left(\begin{array}{r}1\\1\\-\frac{1+2\cdot 1}{3}\\\end{array}\right)&&w=\left(\begin{array}{r}2\\5\\-\frac{2+2\cdot 5}{3}\\\end{array}\right)\\
v=\left(\begin{array}{r}1\\1\\-\frac{3}{3}\\\end{array}\right)&&w=\left(\begin{array}{r}2\\5\\-\frac{12}{3}\\\end{array}\right)\\
v=\left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\\\end{array}\right)&&w=\left(\begin{array}{r}2\\5\\-4\\\end{array}\right)\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\\\end{array}\right)&=&\alpha\left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\\\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{r}2\\5\\-4\\\end{array}\right)\\
x&=&\alpha+2\beta\\
y&=&\alpha+5\beta\\
z&=&-\alpha-4\beta
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
(\alpha+2\beta)+2\cdot(\alpha+5\beta)+3\cdot(-\alpha-4\beta)&=&0\\
\alpha+2\beta+2\alpha+10\beta-3\alpha-12\beta&=&0\\
3\alpha+12\beta-3\alpha-12\beta&=&0\\
\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}
E&=&\left\{\alpha\left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\\\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{r}2\\5\\-4\\\end{array}\right)\mid \alpha,\beta \in \R\right\}
\end{eqnarray*}
\subsection*{2.) Seien $u:=(1,2,2)$, $v:=(1,4,9)$, und $w:=(1,8,27).$ L"a"st sich jeder Vektor aus $\R^3$ in der Form $\alpha u+\beta v+\gamma w$ schreiben?}
Die Vektoren $u$ und $v$ sind linear unabh"angig,
\begin{eqnarray*}
\frac{<u,v>}{\|u\|\cdot\|v\|}&=&\frac{<(1,2,2),(1,4,9)>}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot\sqrt{1^2+4^2+9^2}}\\
&=&\frac{1\cdot 1+2\cdot 4+2\cdot 9}{\sqrt{1+4+4}\cdot\sqrt{1+16+81}}\\
&=&\frac{1+8+18}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{98}}\\
&=&\frac{27}{3\cdot\sqrt{98}}\\
\frac{27}{3\cdot\sqrt{98}}&\ne&\frac{27}{3\cdot\sqrt{81}}\\
\frac{27}{3\cdot\sqrt{98}}&\ne&\frac{27}{3\cdot 9}\\
\frac{27}{3\cdot\sqrt{98}}&\ne&\frac{27}{27}\\
\frac{27}{3\cdot\sqrt{98}}&\ne&1\\
\end{eqnarray*}
da zwischen Ihnen ein anderer Winkel als $0^o$ und $180^o$ besteht.\\

Somit kann zwischen ihnen eine Ebene aufgespannt werden, als St"utzvektor dient der Nullvektor.
\begin{eqnarray*}
E&:=&\alpha u+\beta v,\quad \alpha,\beta\in \R\\
\end{eqnarray*}
Der Punkt, auf den der Vektor $w$ vom Ursprung aus zeigt, liegt f"ur keine Werte von $\alpha$ und $\beta$ in dieser Ebene
\begin{eqnarray*}
I&1=&\alpha+\beta \\
II&4=&2 \alpha +2 \beta \\
III&27=&2 \alpha +9 \beta \\
\\
II-2I&2=&2\alpha-2\alpha+2\beta-2\beta\\
&2=&0\quad\widerspruch\\
\end{eqnarray*}
Somit kann die Ebene entlang dieses Vektors verschoben werden.\\

\begin{eqnarray*}
R&:=&\alpha u+\beta v+\gamma w,\quad \alpha,\beta,\gamma\in \R
\end{eqnarray*}

Diese Schar von Ebenen bildet somit ein Koordinatensystem, durch welches jeder Punkt $(x,y,z)$ im $\R^3$ ausgedru"ckt werden kann.

\subsection*{3.) Finden Sie f"ur die Ebene $E:=\{(x,y,z)\mid 3x-2y+z=-1\}$ eine Parameterdarstellung.}
\begin{eqnarray*}
3x-2y+z=-1&\Leftrightarrow&-3x+2y-1=z
\end{eqnarray*}
Damit ist es m"oglich drei Punkte  zu finden, welche auf der Ebene liegen.
\begin{eqnarray*}
p(x,y)&=&\left(\begin{array}{r}x\\y\\-3x+2y-1\\\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
F"ur $x$ und $y$ k"onnen drei beliebige Werte eingesetzt werden, solange sie nicht auf einer Gerade liegen. Dies ist bei $(0,0),(1,0),(0,1)$ gegeben.\\
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{lll}
p_1=\left(\begin{array}{r}0\\0\\-3\cdot 0+2\cdot 0-1\end{array}\right)&p_2=\left(\begin{array}{r}1\\0\\-3\cdot 1+2\cdot 0-1\end{array}\right)&p_3=\left(\begin{array}{r}0\\1\\-3\cdot 0+2\cdot 1-1\end{array}\right)\\
p_1=\left(\begin{array}{r}0\\0\\-1\end{array}\right)&p_2=\left(\begin{array}{r}1\\0\\-3\cdot 1-1\end{array}\right)&p_3=\left(\begin{array}{r}0\\1\\2\cdot 1-1\end{array}\right)\\
p_1=\left(\begin{array}{r}0\\0\\-1\end{array}\right)&p_2=\left(\begin{array}{r}1\\0\\-4\end{array}\right)&p_3=\left(\begin{array}{r}0\\1\\1\end{array}\right)\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
Als die Spannvektoren der Ebene $E^\prime$ werden $u:=p_1-p_2$ und $v:=p_1-p_3$ ausgew"ahlt.\\
\begin{eqnarray*}
u=\left(\begin{array}{r}0\\0\\-1\\\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}1\\0\\-4\\\end{array}\right)&&v=\left(\begin{array}{r}0\\0\\-1\\\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}0\\1\\1\\\end{array}\right)\\
u=\left(\begin{array}{r}0-1\\0-0\\-1+4\\\end{array}\right)&&v=\left(\begin{array}{r}0-0\\0-1\\-1-1\\\end{array}\right)\\
u=\left(\begin{array}{r}-1\\0\\3\\\end{array}\right)&&v=\left(\begin{array}{r}0\\-1\\-2\\\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Als St"utzvektor dient $p_1$, die Ebene $E^\prime$ ist somit definiert als
\begin{eqnarray*}
E^\prime&:=&\vektor{0}{0}{-1}+\alpha\vektor{-1}{0}{3}+\beta\vektor{0}{-1}{-2}
\end{eqnarray*}
\newpage
\subsection*{4.) Sind $x,y,z\in \R^3$ drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so gibt es genau eine Ebene im $\R^3$, die diese Punkte enth"alt. Geben Sie einen Vektor an, der auf dieser Ebene senkrecht steht.}
Die Punkte $(x,y,z)$ liegen nicht auf einer Geraden. Zwischen jeweils zweien von ihnen kann daher ein Vektor gebildet werden.\\
Zwischen zweien dieser Vektoren l"a"st sich anschlie"send eine Ebene aufspannen.\\
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <10mm,10mm>
\setplotarea x from -1 to 10, y from -1 to 5.5
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.5 0 to 5 0
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from 0 -1 to 0 4
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.5 -1 to 1.5 3
\put {$\bullet$} at 2 2
\put {$\bullet$} at 4 3
\put {$\bullet$} at 2 3.5
\put {$x$} at 1.75 2
\put {$y$} at 4.25 3
\put {$z$} at 1.75 3.5
\plotsymbolspacing2pt
\plot 1 1 1 3.5 5 5.5 5 3 1 1 /
\plot 1.5 1.25 1.5 3.75 /
\plot 2   1.5  2   4 /
\plot 2.5 1.75 2.5 4.25 /
\plot 3   2    3   4.5 /
\plot 3.5 2.25 3.5   4.75 /
\plot 4   2.5  4   5   /
\plot 4.5 2.75 4.5 5.25 /
\plot 1 1.5 5 3.5 /
\plot 1 2   5 4 /
\plot 1 2.5 5 4.5 /
\plot 1 3   5 5 /
\plotsymbolspacing0.5pt
\setplotsymbol ({$\cdot$})
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from 0 0 to 2 2
\arrow <3mm> [0.375,0.75] from 2 2 to 4 3
\arrow <3mm> [0.375,0.75] from 2 2 to 2 3.5
\arrow <3mm> [0.375,0.75] from 2 2 to 0.5 3
\put {$\begin{array}{ccc}x&:=&\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\\end{array}\right)\\y&:=&\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\\\end{array}\right)\\z&:=&\left(\begin{array}{r}z_1\\z_2\\z_3\\\end{array}\right)\\\end{array}$} at 7 2

\endpicture

\begin{eqnarray*}
E&:=&\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\\end{array}\right)+\alpha\left(\begin{array}{r}x_1-y_1\\x_2-y_2\\x_3-y_3\\\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{r}x_1-z_1\\x_2-z_2\\x_3-z_3\\\end{array}\right)\\
\end{eqnarray*}
Senkrecht auf dieser Ebene steht der Vektor, welcher aus dem Kreuzprodukt der Spannvektoren entsteht.\\
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{r}x_1-y_1\\x_2-y_2\\x_3-y_3\\\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r}x_1-z_1\\x_2-z_2\\x_3-z_3\\\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{r}(x_2-y_2)(x_3-z_3)-(x_3-y_3)(x_2-z_2)\\(x_3-y_3)(x_1-z_1)-(x_1-y_1)(x_3-z_3)\\(x_1-y_1)(x_2-z_2)-(x_2-y_2)(x_1-z_1)\\\end{array}\right)\\
&=&\left(\begin{array}{r}(x_2x_3-x_2z_3-x_3y_2+y_2z_3)-(x_2x_3-x_3z_2-x_2y_3+y_3z_2)\\(x_1x_3-x_3z_1-x_1y_3+y_3z_1)-(x_1x_3-x_1z_3-x_3y_1+y_1z_3)\\(x_1x_2-x_1z_2-x_2y_1+y_1z_2)-(x_1x_2-x_2z_1-x_1y_2+y_2z_1)\\\end{array}\right)\\
&=&\left(\begin{array}{r}x_2x_3-x_2z_3-x_3y_2+y_2z_3-x_2x_3+x_3z_2+x_2y_3-y_3z_2\\
x_1x_3-x_3z_1-x_1y_3+y_3z_1-x_1x_3+x_1z_3+x_3y_1-y_1z_3\\x_1x_2-x_1z_2-x_2y_1+y_1z_2-x_1x_2+x_2z_1+x_1y_2-y_2z_1\\\end{array}\right)\\
&=&\underline{\underline{\left(\begin{array}{r}-x_2z_3-x_3y_2+y_2z_3+x_3z_2+x_2y_3-y_3z_2\\
-x_3z_1-x_1y_3+y_3z_1+x_1z_3+x_3y_1-y_1z_3\\-x_1z_2-x_2y_1+y_1z_2+x_2z_1+x_1y_2-y_2z_1\\\end{array}\right)}}\\
\end{eqnarray*}
\end{document}
