\documentclass{article}
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\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 3\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 3\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 3}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.)}
Eine "Aquivalenzrelation $\equiv$ in einer Menge $A$ liegt vor, wenn
\begin{itemize}
\item{$\forall a\in A:\;a\equiv a$ (Reflexivit"at)}
\item{$\forall a,b\in A:\;a\equiv b\Longrightarrow b\equiv a$ (Symetrie)}
\item{$\forall a,b,c\in A:\;a\equiv b\wedge b\equiv c\Longrightarrow a\equiv c$ (Transitivit"at)}
\end{itemize}
gilt.
\subsubsection*{1. Sei $m\in \N$ beliebig. Zeigen Sie, dass die Definition $a\equiv b\;:\Leftrightarrow m(a-b)\in \Z$ eine "Aquivalenzrelation auf $\Q$ definiert.}
\begin{description}
\item[Reflexivit"at]{$a\equiv a$\\
\begin{eqnarray*}
m(a-a)&=&m\cdot 0=0
\end{eqnarray*}
$0\in \Z$, damit ist die Relation reflexiv.
}
\item[Symetrie]{$(a\equiv b)\;\Leftrightarrow (b\equiv a)$\\
\begin{description}
\item["`$\Rightarrow$"']{Wenn $m(a-b)\in \Z$ gilt, so ist $m(b-a)=\underbrace{-1}_{\in \Z}\cdot \underbrace{m(a-b)}_{\in \Z}$ ebenfalls $\in \Z$.}
\item["`$\Leftarrow$"']{Wenn $m(b-a)\in \Z$ gilt, so ist $m(a-b)=\underbrace{-1}_{\in \Z}\cdot \underbrace{m(b-a)}_{\in \Z}$ ebenfalls $\in \Z$.}
\end{description}

Damit ist die Relation symetrisch.
}
\item[Transitivit"at]{$(a\equiv b)\wedge (b\equiv c)\Longrightarrow (a\equiv c)$\\

Wenn $a,b,c\in \Q$ gilt, so kann man sie auch schreiben als $a:=\frac{a^\prime}{x},\;b:=\frac{b^\prime}{y},\;c:=\frac{c^\prime}{z}$, mit $a^\prime,b^\prime,c^\prime\in Z,\;x,y,z\in \N$.
\begin{eqnarray*}
m_1(a-b)&=&m_1\left(\frac{a^\prime}{x}-\frac{b^\prime}{y}\right)=m_1\left(\frac{a^\prime y-b^\prime x}{xy}\right)\\
m_2(b-c)&=&m_2\left(\frac{b^\prime}{y}-\frac{c^\prime}{z}\right)=m_2\left(\frac{b^\prime z-c^\prime y}{yz}\right)\\
m_3(a-c)&=&m_3\left(\frac{a^\prime}{x}-\frac{c^\prime}{z}\right)=m_3\left(\frac{a^\prime z-c^\prime x}{xz}\right)
\end{eqnarray*}
Wegen $a^\prime,c^\prime\in\Z$ und $x,z\in\N$ liegt $a^\prime z-c^\prime x$ in $\Z$. Mit $m_3=xz$ gilt somit $m_3(a-c)\in \Z$. Damit ist die Relation transitiv.
}
\end{description}
Damit ist $a\equiv b:\Leftrightarrow m(a-b)\in \Z$ eine "Aquivalenzrelation.
\subsubsection*{2. Zeigen Sie, dass die Definition $a\equiv b\;:\Leftrightarrow ab^{-1}>0$ eine "Aquivalenzrelation auf $\R^*$ definiert.}
\begin{description}
\item[Reflexivit"at]{$a\equiv a$\\
\begin{eqnarray*}
aa^{-1}&=&1
\end{eqnarray*}
$1>0$, damit ist die Relation reflexiv.
}
\item[Symetrie]{$(a\equiv b)\Leftrightarrow (b\equiv a)$\\
\begin{description}
\item["`$\Rightarrow$"']{$ab^{-1}>0$ gilt in zwei F"allen:
\begin{enumerate}
\item{$a>0\wedge b^{-1}>0\Longrightarrow a^{-1}>0\wedge b>0\Longrightarrow a^{-1}b>0\Rightarrow ba^{-1}>0$}
\item{$a<0\wedge b^{-1}<0\Longrightarrow a^{-1}<0\wedge b<0\Longrightarrow a^{-1}b>0\Rightarrow ba^{-1}>0$}
\end{enumerate}
}
\item["`$\Leftarrow$"']{$ba^{-1}>0$ gilt in zwei F"allen:
\begin{enumerate}
\item{$b>0\wedge a^{-1}>0\Longrightarrow b^{-1}>0\wedge a>0\Longrightarrow b^{-1}a>0 \Rightarrow ab^{-1}>0$}
\item{$b<0\wedge a^{-1}<0\Longrightarrow b^{-1}<0\wedge a<0\Longrightarrow b^{-1}a>0 \Rightarrow ab^{-1}>0$}
\end{enumerate}
}
\end{description}
Damit ist die Relation symetrisch.
}
\item[Transitivit"at]{$(a\equiv b)\wedge (b\equiv c)\Longrightarrow (a\equiv c)$\\

F"ur $a\equiv b$ ergeben sich zwei F"alle:
\begin{description}
\item[1. $a>0,\;b^{-1}>0$]{$\Longrightarrow b>0$ Wenn nun auch noch $b\equiv c$ gelten soll, so mu"s $c^{-1}$ ebenfalls gr"o"ser als $0$ sein. Also ist auch $ac^{-1}>0$.}
\item[2. $a<0,\;b^{-1}<0$]{$\Longrightarrow b<0$ Wenn nun auch noch $b\equiv c$ gelten soll, so mu"s $c^{-1}$ ebenfalls kleiner als $0$ sein. Also ist auch $ac^{-1}>0$.}
\end{description}
Damit ist die Relation transitiv.
}
\end{description}
Damit ist $a\equiv b\;:\Leftrightarrow ab^{-1}>0$ eine "Aquivalenzrelation.
\subsection*{2.) Sei $G$ eine Gruppe, und $N\subset G$ eine Untergruppe. $N$ erf"ulle dar"uber hinaus $xNx^{-1}=N\;\forall x\in G$. Zeigen Sie, dass auf der Menge der Nebenklassen $M:=\{[a]\mid a\in G\},\;$ wobei $[a]:=aN$, eine Multiplikation $[a][b]:=[ab],\;a,b\in G$ definiert werden kann, und $M$ mit dieser Multiplikation eine Gruppe ist.}
Eine Multiplikation $[a][b]=[ab]$ l"a"st sich folgenderm"a"sen konstruieren:
\begin{eqnarray*}
\;[a]&:=&aN\\
\;[b]&:=&bN\\
\Rightarrow [a][b]&=&aNbN
\end{eqnarray*}
$G$ ist eine Gruppe, daher gibt es in ihr auch ein neutrales Element $e$. F"ur $xNx^{-1}$ ergibt sich mit $x:=eN$ somit:\\
\begin{eqnarray*}
\;(eN)N(eN)^{-1}&=&N\\
\;[e][e][e]^{-1}&=&N\\
\end{eqnarray*}
Mit $N=bNb^{-1}$ gilt nun:
\begin{eqnarray*}
aNbN=abNb^{-1}bN=abN(b^{-1}b)N=abNN=ab(eN)N(eN)^{-1}=abN=[ab]
\end{eqnarray*}

\begin{description}
\item[Assoziativit"at]{
\begin{eqnarray*}
([a])([b][c])&=&aN(bNcN)=aN(bcNc^{-1}cN)=aN(bcNeN)=[a][bc][e]=
\end{eqnarray*}
}
\end{description}
\subsection*{3.) Sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Element $a\in R$ hei"st nilpotent, wenn es ein $n\in \N$ gibt, mit $a^n=0$. Zeigen Sie, dass die Menge der nilpotenten Elemente ein Ideal in $R$ ist.}
Ein Unterring $U$ eines Ringes $R$ hei"st Ideal, wenn gilt:
\begin{eqnarray*}
ar\in U,\forall a\in U,\;r\in R\\
ra\in U,\forall a\in U,\;r\in R
\end{eqnarray*}
Da $R$ ein kommutativer Ring ist, gen"ugt es den Fall $ru$ zu betrachten: Wenn $U$ der Unterring der nilpotenten Elemente ist, so gilt f"ur alle $r\in R$, $a\in U$, da"s ein $n\in N$ existiert, mit dem
\begin{eqnarray*}
r\cdot a^n&=&0
\end{eqnarray*}
ergibt. Sei $b:=ra$, so gilt mit dem selben $n$:
\begin{eqnarray*}
b^n&=&(ra)^n
\end{eqnarray*}
Da der Ring kommutativ ist, mu"s auch der Unterring kommutativ sein, deshalb gilt
\begin{eqnarray*}
b^n=(ra)^n=\prod\limits^n_{i=1}(ra)=\prod\limits^n_{i=1}r\cdot \prod\limits^n_{i=1}a=r^na^n=r^n\cdot 0=0
\end{eqnarray*}
Damit ist $ra=b$ ebenfalls ein nilpotentes Element und liegt ebenfalls im Unterring. Damit ist die Menge der nilpotente Elemente ein Ideal.
\subsection*{4.) Zeigen Sie, dass $\{0\}$ und $K$ die einzigen Ideale eines K"orpers $K$ sind.}
Ein Unterring $U$ eines K"orpers $(K,\oplus,\odot)$ ist ein Ideal, wenn gilt:
\begin{eqnarray*}
uk\in U \ni ku&&\forall u\in U,\;k\in K
\end{eqnarray*}

Nimmt man an, da"s $U\subsetneq K$, so ergeben sich zwei F"alle:
\begin{description}
\item[Fall 1: $1_K\in U$]{$ $\\
Angenommen, das Einselement $1_K$ aus $K$ l"age in $U$. F"ur jedes $K\ni k\not\in U$ und $u:=1_K$ ist dann aber $1_Kk=k1_K=k$. \\
$\widerspruch$\\

Also m"ussen in diesem Fall alle Elemente aus $K$ in $U$ liegen, damit das Ergebnis von $uk=ku$ ebenfalls in $U$ liegt.
}
\item[Fall 2: $1_K\not \in U$]{$ $\\
Angenommen, das Einselement $1_K$ l"age nicht in $U$. Da nun aber f"ur ein $u\in U$, welches ungleich 0 ist, ein inverses Element existiert (schlie"slich ist $(K\backslash\{0\},\odot)$ eine Gruppe), so gilt $uu^{-1}=u^{-1}u=1_K$. Per Definition darf dieses Element aber nicht in $U$ liegen.\\
$\widerspruch$\\

Also d"urfen in diesem Fall nur Elemente in $U$ liegen, die in $K$ kein inverses Element besitzen, damit $uk=ku$ in $U$ liegt. Dies ist aber nur bei $0$ gegeben.
}
\end{description}
Insgesamt darf das Ideal eines K"orpers somit nur $\{0\}$ oder der K"orper selbst sein.\\
$ $\\
$\square$
\end{document}

