\documentclass{article}
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\include{commands}
\markboth{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 2\hfill}{Agnieszka S\l aby, Beth Scorer, Bibiana Gluski, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 2\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Lineare Algebra I\\Blatt 2}
\author{Agnieszka S\l aby, 5498566\\Beth Scorer, 5643272\\Bibiana Gluski, 5600816\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Pr"ufen Sie, ob folgende Mengen $G$ mit der Verkn"upfung $*$ Gruppen sind:}
\subsubsection*{a.) $G:=\R,\quad x*y:=3x+4y$}
{\bf Behauptung:} $G$ ist keine Gruppe, da die Assoziativit"at der Verkn"upfung nicht gegeben ist.\\
\begin{eqnarray*}
(x*y)*z&=&3(3x+4y)+4z\\
&=&9x+12y+4z\\
\\
x*(y*z)&=&3x+4(3y+4z)\\
&=&3x+12y+16z
\end{eqnarray*}
Zum Beispiel $x:=0,\;y:=0,\;z:=1$:\\
\begin{eqnarray*}
9\cdot 0+12\cdot 0+4\cdot 1&&9\cdot 0+12\cdot 0+16\cdot 1\\
=4&&=16\\
\end{eqnarray*}
Damit gilt das gesagte.
\subsubsection*{b.) $G:=\{x\in \R\mid |x|<1\},\quad x*y:=\frac{x+y}{1+xy}$}
Behauptung: $(G,*)$ ist eine Gruppe, da Assoziativit"at gegeben ist, das neutrale Element 0, und das inverse f"ur alle $x\in G=-x$ und f"ur alle $y\in y=-y$ ist.\\

\begin{description}
\item[Assoziativit"at]{ist gegeben:\\
\begin{eqnarray*}
(x*y)*z=\frac{\frac{x+y}{1+xy}+z}{1+\frac{x+y}{1+xy}z}&&\frac{x+\frac{y+z}{1+yz}}{1+x\frac{y+z}{1+yz}}=x*(y*z)=\\
=\frac{\frac{x+y}{1+xy}+\frac{z(1+xy)}{1+xy}}{\frac{1+xy}{1+xy}+\frac{x+y}{1+xy}z}&&\frac{\frac{1+yz}{1+yz}x+\frac{y+z}{1+yz}}{\frac{1+yz}{1+yz}+x\frac{y+z}{1+yz}}=\\
=\frac{\frac{x+y+z(1+xy)}{1+xy}}{\frac{1+xy+xz+yz}{1+xy}}&&\frac{\frac{(1+yz)x+y+z}{1+yz}}{\frac{1+yz+x(y+z)}{1+yz}}=\\
=\frac{x+y+z(1+xy)}{1+xy+xz+yz}&&\frac{(1+yz)x+y+z}{1+yz+x(y+z)}=\\
=\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}&&\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}\\
\end{eqnarray*}

}
\item[neutrales Element]{Das neutrale Element ist 0.
\begin{description}
\item[Linksneutralit"at]{$y:=0$\\
\begin{eqnarray*}
\frac{x+0}{1+x\cdot0}&=&\frac{x}{1}=x
\end{eqnarray*}
}
\item[Rechtsneutralit"at]{$x:=0$\\
\begin{eqnarray*}
\frac{0+y}{1+0\cdot y}&=&\frac{y}{1}=y
\end{eqnarray*}
}
\end{description}
}
\item[inverses Element]{Das inverse Element ist $-x$ bzw. $-y$.
\begin{description}
\item[Linksinvers]{$y:=-x$\\
\begin{eqnarray*}
\frac{x-x}{1+x\cdot(-x)}&=&\frac{0}{1-x^2}=0\\
\end{eqnarray*}
}
\item[Rechtsinvers]{$x:=-y$\\
\begin{eqnarray*}
\frac{-y+y}{1+(-y)\cdot y}&=&\frac{0}{1-y^2}=0\\
\end{eqnarray*}
}
\end{description}
}
\end{description}
Damit gilt das gesagte.
\subsubsection*{$G:=\R\times \R_+,\quad\Big((s,a)*(t,b)\Big):=(s+at,ab)$}
Behauptung: $(G,*)$ ist eine Gruppe, da Assoziativit"at gegeben ist, das neutrale Element $(0,1)$, und das inverse f"ur alle $(s,a)\in G=\big(-\frac{s}{a},\frac{1}{a}\big)$ und f"ur alle $(t,b)=\big(-\frac{t}{b},\frac{1}{b}\big)$ ist.

\begin{description}
\item[Assoziativit"at]{ist gegeben
\begin{eqnarray*}
\Big((s,a)*(t,b)\Big)*(u,c)&=&(s+at,ab)*(u,c)\\
&=&\big((s+at)+(ab)u,(ab)c\big) \\
&=&\big(s+at+abu,abc\big)\\
\\
(s,a)*\Big((t,b)*(u,c)\Big)&=&(s,a)*(t+bu,bc)\\
&=&\big(s+a(t+bu),a(bc)\big)\\
&=&(s+at+abu,abc)\\
\end{eqnarray*}
}
\item[neutrales Element]{Das neutrale Element ist $(0,1)$.\\
\begin{description}
\item[Linksneutralit"at]{$(t,b):=(0,1)$
\begin{eqnarray*}
(s,a)*(0,1)&=&(s+a\cdot 0,a\cdot 1)=(s,a)
\end{eqnarray*}
}
\item[Rechtsneutralit"at]{$(s,a):=(0,1)$
\begin{eqnarray*}
(0,1)*(t,b)&=&(0+1\cdot t,1\cdot b)=(t,b)\\
\end{eqnarray*}
}
\end{description}
}
\item[inverses Element]{Das inverse Element ist $\left(-\frac{s}{a},\frac{1}{a}\right)$ bzw. $\left(-\frac{t}{b},\frac{1}{b}\right)$.\\
\begin{description}
\item[Linksinvers]{$(t,b):=\left(-\frac{s}{a},\frac{1}{a}\right)$
\begin{eqnarray*}
(s,a)*\left(-\frac{s}{a},\frac{1}{a}\right)&=&\left(s-a\cdot\frac{s}{a},a\frac{1}{a}\right)=\left(s-s,\frac{a}{a}\right)=(0,1)
\end{eqnarray*}
}
\item[Rechtsinvers]{$(s,a):=\left(-\frac{t}{b},\frac{1}{b}\right)$
\begin{eqnarray*}
\left(-\frac{t}{b},\frac{1}{b}\right)*(t,b)&=&\left(-\frac{t}{b}+\frac{1}{b}\cdot t,\frac{1}{b}\cdot b\right)=\left(-\frac{t}{b}+\frac{t}{b},\frac{b}{b}\right)=(0,1)
\end{eqnarray*}
}
\end{description}
}
\end{description}
Damit gilt das gesagte.
\subsection*{2.) Stellen Sie die Gruppentafel der symetrischen Gruppe $S(3)$ auf, bestimmen Sie alle Untergruppen. Zeigen Sie, da"s $S(3)$ nicht abelsch ist. Schlie"sen Sie daraus, da"s auch jede $S(n)$ mit $n\geqslant 3$ nicht abelsch ist.}
$S(3)$ enth"alt die folgenden 6 Abbildungen:\\
\begin{eqnarray*}
a_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&2&3\\\end{array}\right)&b_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\\\end{array}\right)&c_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\\\end{array}\right)\\
d_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&3&2\\\end{array}\right)&e_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&1&2\\\end{array}\right)&f_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&2&1\\\end{array}\right)\\
\end{eqnarray*}
Die Gruppentafel der symetrischen Gruppe $S(3)$ sieht wie folgt aus:\\
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|}\hline
\circ&a_3&b_3&c_3&d_3&e_3&f_3\\\hline\hline
a_3&a_3&b_3&c_3&d_3&e_3&f_3\\\hline
b_3&b_3&a_3&f_3&e_3&d_3&c_3\\\hline
c_3&c_3&d_3&e_3&f_3&a_3&b_3\\\hline
d_3&d_3&c_3&b_3&a_3&f_3&e_3\\\hline
e_3&e_3&f_3&a_3&b_3&c_3&d_3\\\hline
f_3&f_3&e_3&d_3&c_3&b_3&a_3\\\hline
\end{array}
\end{eqnarray*}
Die sechs Untergruppen sind:
\begin{eqnarray*}
&\left\{
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
1&2&3
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
1&3&2
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
3&2&1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&1&3
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&3&1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
3&1&2
\end{array}\right)
\right\}\\
&\left\{
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
1&2&3
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&3&1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
3&1&2
\end{array}\right)
\right\}\\
&\left\{
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
1&2&3
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
1&3&2
\end{array}\right)
\right\}\\
&\left\{
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
1&2&3
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
3&2&1
\end{array}\right)
\right\}\\
&\left\{
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
1&2&3
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&1&3
\end{array}\right)
\right\}\\
&\left\{
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
1&2&3
\end{array}\right)
\right\}\\
\end{eqnarray*}
Die Gruppe ist nicht abelsch, da sie die Abbildungen 
\begin{eqnarray*}
c_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\\\end{array}\right)&&d_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&3&2\\\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
enth"alt. Mit Ihnen ergibt sich f"ur $c_3\circ d_3$ und $d_3\circ c_3$
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{rrr}
c_3\circ d_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&1&2\\\end{array}\right)&&d_3\circ c_3=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\\\end{array}\right)
\end{array}
\end{eqnarray*}

Damit ist $S(3)$ nicht abelsch.\\

$ $\\
{\bf Behauptung}: $S(n)$ ist nicht abelsch f"ur $n\geqslant 3$.\\

{\bf Beweis} per Induktion "uber $n$.\\

\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$n:=3$\\

$A(n)$: Siehe oben.
}
\item[Induktionsschritt]{$A(n)\Longrightarrow A(n+1)$\\

Da $S(n+1)$ die Menge aller Permutationen ist, enth"alt sie auch die Abbildungen
\begin{eqnarray*}
c_{n+1}=\left(\begin{array}{c@{\cdots}cc}1&n&n+1\\c_n(1)\;&\;c_n(n)&n+1\\\end{array}\right)&&d_{n+1}=\left(\begin{array}{c@{\cdots}cc}1&n&n+1\\d_n(1)\;&\;d_n(n)&n+1\\\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

Nach Induktionsvorraussetzung unterscheiden sich die ersten $n$ Elemente der Abbildungen $c_{n+1}\circ d_{n+1}$ und $c_{n+1}\circ d_{n+1}$. Damit hat sie verschiedene Ergebnisse, damit ist die Verkn"upfung $\circ$ nicht kommutativ, damit ist die Gruppe nicht abelsch.
}
\end{description}
q.e.d.
\subsection*{3.) Sei $G$ eine Gruppe mit Einselement $e$, in der $a^2=e$ gilt f"ur jedes $a\in G$. Zeigen Sie, dass $G$ abelsch ist.}
Bekannt sei $ea=a=ae$, $a^{-1}a=e=aa^{-1}$, $(ab)c=a(bc)$ und $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.\\

Wegen $a^2=aa=e$ f"ur alle $a\in G$ gilt auch $a^{-1}a^{-1}=e$.\\ 

Um zu beweisen, da"s $G$ abelsch ist, ben"otigt man noch die Aussage da"s $a^{-1}=a$.
\begin{eqnarray*}
a=ea=(a^{-1}a^{-1})a=a^{-1}(a^{-1}a)=a^{-1}e=a^{-1}\\
\end{eqnarray*}
Also gilt somit $\underline{a=a^{-1}}$.\\

%\begin{eqnarray*}
%aeb=(ae)b&=&(a)b=ab\\
%aeb=a(eb)&=&a(b)=ab
%\end{eqnarray*}
%Somit gilt $\underline{aeb=ab}$.\\

Nun l"a"st sich zeigen, da"s $G$ abelsch ist:
\begin{eqnarray*}
ab&=&(ab)^{-1}\\
&=&b^{-1}a^{-1}\\
%&=&b^{-1}ea^{-1}e\\
%&=&b^{-1}bba^{-1}aa\\
%&=&(b^{-1}b)b(a^{-1}a)a\\
%&=&ebea\\
&=&ba
\end{eqnarray*}
Somit gilt in $G$ $ab=ba$, also ist $G$ abelsch.







\subsection*{4.) Pr"ufen sie, ob folgende Abbildungen Homomorphismen von Gruppen sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Kerne dieser Abbildungen.}
\subsubsection*{1. $G:=\R^2$ und $H:=\R$ mit den "ublichen Additionen in $\R^2$ und $\R$ und $f:\R^2\rightarrow \R,\quad f(x,y):=xy$.}
$f$ ist ein Homomorphismus, wenn gilt
\begin{eqnarray*}
f(g_1+g_2)&=&f(g_1)+f(g_2),\quad\forall g_1,g_2\in G
\end{eqnarray*}
Die $g_i$ sind definiert als
\begin{eqnarray*}
g_i&:=&{x_{i1}\choose x_{i2}},\quad x_{i1},x_{i2}\in \R.
\end{eqnarray*}
Damit
\begin{eqnarray*}
f(g_1+g_2)=f\left({x_{11}\choose x_{12}}+{x_{21}\choose x_{22}}\right)&&f\left({x_{11}\choose x_{12}}\right)+f\left({x_{21}\choose x_{22}}\right)=f(g_1)+f(g_2)\\
f\left({x_{11}+x_{21}\choose x_{12}+x_{22}}\right)&&f\left({x_{11}\choose x_{12}}\right)+f\left({x_{21}\choose x_{22}}\right)\\
(x_{11}+x_{21})\cdot(x_{12}+x_{22})&&(x_{11}\cdot x_{12})+(x_{21}\cdot x_{22})
\end{eqnarray*}
{\bf Zum Beispiel:} $x_{11}:=1,\;x_{12}:=1,\;x_{21}:=1,\;x_{22}:=1$\\
\begin{eqnarray*}
(1+1)\cdot(1+1)&&(1\cdot 1)+(1\cdot 1)\\
2\cdot 2&&1+1\\
4&\ne&2
\end{eqnarray*}

Damit ist $f$ kein Homomorphismus.
\subsubsection*{2. $G:=\R^2$ und $H:=\R$ mit den "ublichen Additionen in $\R^2$ und $\R$ und $f:\R^2\rightarrow \R,\quad f(x,y):=x+y$.}
$f$ ist ein Homomorphismus, wenn gilt
\begin{eqnarray*}
f(g_1+g_2)&=&f(g_1)+f(g_2),\quad\forall g_1,g_2\in G
\end{eqnarray*}
Die $g_i$ sind definiert als
\begin{eqnarray*}
g_i&:=&{x_{i1}\choose x_{i2}},\quad x_{i1},x_{i2}\in \R.
\end{eqnarray*}
Damit
\begin{eqnarray*}
f(g_1+g_2)=f\left({x_{11}\choose x_{12}}+{x_{21}\choose x_{22}}\right)&&f\left({x_{11}\choose x_{12}}\right)+f\left({x_{21}\choose x_{22}}\right)=f(g_1)+f(g_2)\\
f\left({x_{11}+x_{21}\choose x_{12}+x_{22}}\right)&&f\left({x_{11}\choose x_{12}}\right)+f\left({x_{21}\choose x_{22}}\right)\\
(x_{11}+x_{21})+(x_{12}+x_{22})&&(x_{11}+x_{12})+(x_{21}+x_{22})\\
x_{11}+x_{21}+x_{12}+x_{22}&&x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}\\
x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}&=&x_{11}+x_{12}+x_{21}+x_{22}\\
\end{eqnarray*}
Damit ist $f$ ein Homomorphismus. Das Einselement von $H$ ist 0. F"ur $x=-y$ bzw. $y=-x$ gilt $x+y=0$. Den Kern bildet also eine Diagonale mit der Steigung $-1$, die im 2. und 4. Quadranten verl"auft und durch den Ursprung geht:\\
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <3mm,3mm>
\setplotarea x from -20 to 6, y from -5 to 5
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -5 0 to 5 0
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from 0 -5 to 0 5
\put {$y$} at 1 5
\put {$x$} at 5.5 0
\put {$y=-x$} at 4 -1.5
\setplotsymbol ({$\cdot$})
\plot -5 5 5 -5 /
\endpicture
\subsubsection*{3. $G=H$ irgendeine Gruppe, $g\in G$ ein festes Element und $f(x):=gxg^{-1}$}
$f$ ist ein Homomorphismus, wenn gilt
\begin{eqnarray*}
f(xy)&=&f(x)f(y),\quad\forall x,y\in G
\end{eqnarray*}
Ist $g$ das gleiche feste Element in allen drei Abbildungen, so ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
f(xy)=gxyg^{-1}&&gxg^{-1}\;gyg^{-1}=f(x)f(y)=\\
&&gx(gg^{-1})yg^{-1}=\\
&&gxe_Gyg^{-1}=\\
&&gxyg^{-1}
\end{eqnarray*}
Damit ist $f$ ein Homomorphismus.\\

Der Kern dieser Abbildung ist das Einselement:
\begin{eqnarray*}
f(e_G)&=&ge_Gg^{-1}\\
&=&gg^{-1}\\
&=&e_G=e_H
\end{eqnarray*}
Da $G=H$ gilt, gilt auch $e_G=e_H$. Eine andere M"oglichkeit w"are $g^{-1}g$ als Kern, dies ist jedoch genau gleich $e_G$.
\end{document}

