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\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Analysis I\\Blatt 7}
\author{Beth Scorer, 5643272\\Fabian Schulz, 5575935\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Man berechne im Konvergenzfall den Grenzwert der Folge $(a_n)$ mit $a_n=\frac{x^n-n}{x^n+n}, (x\in \R_{>0}),\;a_n=\frac{1}{2^n}{n\choose k}, (k\in \N_0),\;a_n=\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n},(a,b,c\in\R_{>0})$.}
\subsection*{2.) Seien $a,b\in \R$. Definiere die Folge $(a_n)$ durch $a_0:=a,\;a_1:=b,\;a_n:=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})$ f"ur $n\geqslant 2$.}
\subsection*{3.) Man berechne }
\subsubsection*{(i) $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}}$, d.h. den Limes der Folge $(a_n)$ mit $a_0=1$ und $a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}$ f"ur $n\in N_0$}
\subsubsection*{(ii) $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots}}}}$, d.h. den Limes der Folge $a_n$ mit $a_0=1$ und $a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}$. Man zeige $|a_n-g|\leqslant \frac{1}{g^n+1},\left(g=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$}
\subsection*{4.) Sei $(s_n)$ eine Folge in $\C$, sei $\sigma_n:=\frac{1}{n}(s_1+\dots+s_n)$.}
\subsubsection*{a.) Man zeige: Aus $s_n\rightarrow s$ folgt $\sigma_n\rightarrow s$.}
\subsubsection*{b.) Man gebe eine divergierende Folge $(s_n)$ an, f"ur die $(\sigma_n)$ konvergiert.}
\end{document}
