\documentclass{article}
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\include{commands}
%\markboth{Beth Scorer (5643272), Fabian Schulz (5575935), Thomas Dettbarn (560641)\hfill\today\hfill}{Beth Scorer (5643272), Fabian Schulz (5575935), Thomas Dettbarn (560641)\hfill\today\hfill}
\markboth{Beth Scorer, Fabian Schulz, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 1\hfill}{Beth Scorer, Fabian Schulz, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 1\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Analysis I\\Blatt 1}
\author{Beth Scorer, 5643272\\Fabian Schulz, 5575935\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) In einem Wassersportverein betreibt jedes Mitglied mindestens eine der drei Sportarten Rudern, Segeln, Tauchen. Addiert man die Zahl der Ruderer, Segler und Taucher, so erh"alt man 170. 58 Mitglieder betreiben mindestens zwei Sportarten, und 88 h"ochstens zwei. Wieviel Mitglieder hat der Verein, und wieviele betreiben alle drei Sportarten?}
Sei 
\begin{itemize} 
\item{$R$ die Menge der Ruderer}
\item{$S$ die Menge der Segler}
\item{$T$ die Menge der Taucher}
\end{itemize}

Die disjunkten Mengen $M_i, i=1\dots 7$ seien wie folgt definiert:\\
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <5mm,5mm>
\setplotarea x from -5 to 20, y from -6 to 5
\circulararc 360 degrees from -1 0 center at 1.5 0
\circulararc 360 degrees from 1 0 center at -1.5 0
\circulararc 360 degrees from 0 0 center at 0 -2.5
\put {$R$} at -4 2
\put {$S$} at 4 2
\put {$T$} at 2.5 -4
\put {$M_1$} at -2.5 1
\put {$M_2$} at 0 1
\put {$M_3$} at 2.5 1
\put {$M_4$} at -1.5 -1.5
\put {$M_5$} at 0 -1 
\put {$M_6$} at 1.5 -1.5
\put {$M_7$} at 0 -3.5
\put {$\begin{array}{lll}M_1&:=&R\backslash (S\cup T)\\M_2&:=&(R\cap S)\backslash T\\M_3&:=&S\backslash(R\cup T)\\M_4&:=&(R\cap T)\backslash S\\M_5&:=&R\cap S\cap T\\M_6&:=&(S\cap T)\backslash R\\M_7&:=&T\backslash(R\cup S)\\\\m_i&:=&\mid M_i\mid\end{array}$} at 10 0
\endpicture

Ihre M"achtigkeit sei mit $m_i$ bezeichnet.\\

{\bf "`Addiert man die Zahl der Ruderer, Segler und Taucher, so erh"alt man 170"'}
\begin{eqnarray*}
&\mid R \mid +\mid S\mid +\mid T\mid&=170\\
\Leftrightarrow&\mid M_1\dot{\cup} M_2\dot{\cup} M_4\dot{\cup} M_5\mid + \mid M_2\dot{\cup} M_3\dot{\cup} M_5\dot{\cup} M_6\mid+\mid M_4\dot{\cup} M_5 \dot{\cup} M_6\dot{\cup} M_7&=170\\
\Leftrightarrow&(\mid M_1\mid +\mid M_2\mid +\mid M_4\mid +\mid M_5\mid )+(\mid M_2\mid +\mid M_3\mid +\mid M_5\mid +\mid M_6\mid )+\\&(\mid M_4\mid +\mid M_5\mid +\mid M_6\mid +\mid M_7\mid )&=170\\
\Leftrightarrow&(m_1+m_2+m_4+m_5)+(m_2+m_3+m_5+m_6)+(m_4+m_5+m_6+m_7)&=170\\
\Leftrightarrow&m_1+2m_2+m_3+2m_4+3m_5+2m_6+m_7&=170\\
\end{eqnarray*}
{\bf "`58 Mitglieder betreiben mindestens zwei Sportarten..."'}
\begin{eqnarray*}
&\mid M_2\dot{\cup}M_4\dot{\cup}M_5\dot{\cup}M_6\mid&=58\\
\Leftrightarrow&\mid M_2\mid+\mid M_4\mid+\mid M_5\mid+\mid M_6\mid&=58\\
\Leftrightarrow&m_2+m_4+m_5+m_6&=58\\
\end{eqnarray*}
{\bf "`... und 88 h"ochstens zwei"'}
\begin{eqnarray*}
&\mid M_1\dot{\cup}M_2\dot{\cup}M_3\dot{\cup}M_4\dot{\cup}M_6\dot{\cup}M_7\mid&=88\\
\Leftrightarrow&\mid M_1\mid+\mid M_2\mid+\mid M_3\mid+\mid M_4\mid+\mid M_6\mid+\mid M_7\mid&=88\\
\Leftrightarrow&m_1+m_2+m_3+m_4+m_6+m_7&=88\\
\end{eqnarray*}

Zusammenfassend also:
\begin{eqnarray*}
m_1+2m_2+m_3+2m_4+3m_5+2m_6+m_7&=&170\\
m_2+m_4+m_5+m_6&=&58\\
m_1+m_2+m_3+m_4+m_6+m_7&=&88\\
\end{eqnarray*}
\begin{description}
\item[(i)]{
Damit l"a"st sich die Anzahl der Personen bestimmen, die alle drei Sportarten aus"uben:\\
\begin{eqnarray*}
&m_1+2m_2+m_3+2m_4+3m_5+2m_6+m_7&=170\\
\Leftrightarrow&m_2+m_4+3m_5+m_6+(m_1+m_2+m_3+m_4+m_6+m_7)&=170\\
\end{eqnarray*}
Mit $m_1+m_2+m_3+m_4+m_6+m_7=88$ ergibt sich:\\
\begin{eqnarray*}
&m_2+m_4+3m_5+m_6+88&=170\\
\Leftrightarrow&m_2+m_4+3m_5+m_6&=82\\
\Leftrightarrow&2m_5+(m_2+m_4+m_5+m_6)&=82\\
\end{eqnarray*}
Mit $m_2+m_4+m_5+m_6=58$ ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
&2m_5+58&=82\\
\Leftrightarrow&2m_5&=24\\
\Leftrightarrow&m_5&=12\\
\end{eqnarray*}
Die Anzahl der Personen, die genau drei Sportarten aus"uben ist somit 12.\\
}
\item[(ii)]{Damit l"a"st sich die Anzahl der Personen bestimmen, die genau zwei Sportarten aus"uben:\\

Aus den Zwischenergebnissen von {\bf (i)} wei"s man:\\
\begin{eqnarray*}
m_2+m_4+3m_5+m_6&=&82\\
\end{eqnarray*}
Au"serdem wei"s man, da"s $m_5=12$.
\begin{eqnarray*}
&m_2+m_4+3\cdot 12+m_6&=82\\
\Leftrightarrow&m_2+m_4+36+m_6&=82\\
\Leftrightarrow&m_2+m_4+m_6&=46\\
\end{eqnarray*}
Die Anzahl der Personen, die genau zwei Sportarten aus"uben ist somit 46.\\
}
\item[(iii)]{Au"serdem l"a"st sich die Anzahl der Personen bestimmen, die genau eine Sportart aus"uben:\\
\begin{eqnarray*}
&m_1+2m_2+m_3+2m_4+3m_5+2m_6+m_7&=170\\
\Leftrightarrow&m_1+m_3+m_5+m_7+2m_2+2m_4+2m_5+2m_6&=170\\
\Leftrightarrow&m_1+m_3+m_5+m_7+2\cdot(m_2+m_4+m_5+m_6)&=170\\
\end{eqnarray*}
Mit $m_2+m_4+m_5+m_6=58$ ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
&m_1+m_3+m_5+m_7+2\cdot 58&=170\\
\Leftrightarrow&m_1+m_3+m_5+m_7&=54\\
\end{eqnarray*}
Mit $m_5=12$ ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
&m_1+m_3+12+m_7&=54\\
\Leftrightarrow&m_1+m_3+m_7&=42\\
\end{eqnarray*}
Die Anzahl der Personen, die genau eine Sportart aus"uben ist somit 42.
}
\item[(iv)]{Insgesamt l"a"st sich somit die Anzahl der Personen in dem Verein bestimmen:

\begin{tabular}{rl}
42&Personen, die genau eine Sportart in dem Verein aus"uben\\
+46&Personen, die genau zwei Sportarten in dem Verein aus"uben\\
+12&Personen, die alle drei Sportarten in dem Verein aus"uben\\\hline
100&Personen in dem Verein.\\
\end{tabular}
}
\item[(v)]{
Zum "Uberpr"ufen lassen sich au"serdem die folgenden Summen bilden:\\

{\bf "`58 Mitglieder betreiben mindestens zwei Sportarten..."'}

\begin{tabular}{rl}
46&Personen, die genau zwei Sportarten in dem Verein aus"uben\\
+12&Personen, die alle drei Sportarten in dem Verein aus"uben\\\hline
58&Personen mit mindestens zwei Sportarten\\
\end{tabular}

{\bf "`... und 88 h"ochstens zwei"'}

\begin{tabular}{rl}
42&Personen, die genau eine Sportart in dem Verein aus"uben\\
+46&Personen, die genau zwei Sportarten in dem Verein aus"uben\\\hline
88&Personen mit h"ochstens zwei Sportarten.\\
\end{tabular}
}
\end{description}
\subsection*{2.) Bei einem Tennisturnier mit $k$-Spielern spielt jeder gegen jeden. Es sei $S_e$ die Anzahl der Siege, $N_e$ die Anzahl der Niederlagen des Spielers $e$. Man beweise $\sum^k_{e=1}S^2_e=\sum^k_{e=1}N^2_e$}
Wenn zwei Gegner Tennis spielen, gewinnt immer genau einer, der andere verliert. Daher gilt
\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{e=1}^kN_e&=&\sum\limits_{e=1}^kS_e
\end{eqnarray*}

Jeder Teilnehmer spielt $(k-1)$ Spiele. Damit ergibt sich
\begin{eqnarray*}
S_e&=&(k-1)-N_e\\
\end{eqnarray*}

$S_e^2$ ist somit definiert als
\begin{eqnarray*}
S_e^2&=&((k-1)-N_e)((k-1)-N_e)\\
&=&(k-1)^2-(k-1)N_e-N_e(k-1)+N_e^2\\
&=&(k-1)^2-2(k-1)N_e+N_e^2\\
\end{eqnarray*}

Die Summe "uber alle Spieler l"asst sich daher schreiben als
\begin{eqnarray*}
\sum\limits^k_{e=1}S_e^2&=&\sum\limits^k_{e=1}(k-1)^2-2(k-1)\sum\limits^k_{e=1}N_e+\sum\limits_{e=1}^kN_e^2\\
&=&k(k-1)^2-2(k+1)\frac{k(k-1)}{2}+\sum\limits^k_{e=1}N_e^2\\
&=&k(k^2-2k+1)-((k-1)(k^2-k))+\sum\limits^k_{e=1}N_e^2\\
&=&k^3-2k^2+k-k^3+k^2+k^2-k+\sum\limits^k_{e=1}N_e^2\\
&=&\sum\limits^k_{e=1}N_e^2
\end{eqnarray*}
q.e.d.
\subsection*{3.) Sei $A(n)$ die Aussage: $n^2<2^n$}
\subsubsection*{(i) F"ur welche $n\in \N$ gilt: $A(n)\Longrightarrow A(n+1)$?}
{\bf Behauptung:}\\
$A(n)\Longrightarrow A(n+1)$ gilt f"ur alle $n\ge 2\in \N$.\\

{\bf Beweis:}\\
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{cccccc}
A(1)&:&1^2<2^1&1<2&\surd\\
A(2)&:&2^2<2^2&4<4&-\\
A(3)&:&3^2<2^3&9<8&-\\
A(4)&:&4^2<2^4&16<16&-\\
A(5)&:&5^2<2^5&25<32&\surd\\
A(6)&:&6^2<2^6&36<64&\surd\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
also
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{c|c|c|c}
n&A(n)&A(n+1)&A(n)\Longrightarrow A(n+1)\\\hline
1&$wahr$&$falsch$&$falsch$\\
2&$falsch$&$falsch$&$wahr$\\
3&$falsch$&$falsch$&$wahr$\\
4&$falsch$&$wahr$&$wahr$\\
5&$wahr$&$wahr$&$wahr$\\
>5&$wahr$&$wahr$&$wahr$\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
F"ur alle $n\ge 5\in \N$ ist $A(n)$ immer wahr. Beweis siehe {\bf (ii)}. Damit gilt das gesagte.
\subsubsection*{(ii) F"ur welche $n\in \N$ ist $A(n)$ richtig?}
{\bf Behauptung:}\\
\begin{eqnarray*}
\forall (n\ge 5)\vee(n=1) \in \N&:&n^2<2^n
\end{eqnarray*}
{\bf Durchf"uhrung:}\\
\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{siehe {\bf (i)}}
\item[Induktionsschlu"s]{$A(n)\Longrightarrow A(n+1)\quad\forall n\ge 5\in \N$\\

\begin{eqnarray*}
(n+1)^2&<&2^{n+1}\\
(n+1)\cdot(n+1)&<&2^{n+1}\\
n^2+2n+1&<&2\cdot 2^n\\
n^2+(2n+1)&<&2^n+(2^n)\\
\end{eqnarray*}
Aus dem Induktionsanfang folgt, da"s $n^2<2^n\;\forall n\ge 3\in\N$.\\ 
Zu zeigen bleibt, da"s $2n+1\le2^n$, damit die Gesamtsumme kleiner ist als $2^(n+1)$\\
\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{Sei $A^\prime(n)$ die Aussage $2n+1\le2^n$.\\
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{cccccc}
A^\prime(1)&:&2\cdot 1+1\le2^1&3\le2&-\\
A^\prime(2)&:&2\cdot 2+1\le2^2&5\le4&-\\
A^\prime(3)&:&2\cdot 3+1\le2^3&7\le8&\surd\\
A^\prime(4)&:&2\cdot 4+1\le2^4&9\le6&\surd\\
\end{array}
\end{eqnarray*}

}
\item[Induktionsschlu"s]{$A^\prime(n)\Longrightarrow A^\prime(n+1)\quad \forall n\ge 3\in \N$\\

\begin{eqnarray*}
2(n+1)+1&\le&2^{n+1}\\
2n+2+1&\le&2\cdot 2^n\\
2n+1+(2)&\le&2^n+(2^n)\\
\end{eqnarray*}
Aus dem Induktionsanfang folgt, da"s $2n+1\le2^n$.\\
Au"serdem gilt $2<2^n$ f"ur alle $n\ge 2\in \N$.\\
Damit gilt $2n+1\le2^n$ f"ur alle $n\ge 3\in \N$.\\
}
\end{description}
Damit gilt $n^2+(2n+1)<2^n+(2^n)$ f"ur alle $n\ge 4\in \N$.\\
Damit gilt $n^2<2^n$ f"ur alle $n\ge 5\in \N$ und laut Induktionsanfang auch f"ur $n=1$.\\
}

\end{description}
q.e.d.


\subsection*{4.) Man beweise: $(1+x)\cdot\dots\cdot(1+x^{2^n})=\frac{1-x^{2{n+1}}}{1-x},\;(x\ne 1)$}
Behauptung: Der Author des "Ubungszettels hat ein \verb+^+ in seinem \TeX-Code vergessen, da
\begin{description}
\item[a.)]{\begin{eqnarray*}
\prod\limits^n_{i=0}(1+x^{2^i})&=&\frac{1-x^{2{n+1}}}{1-x},(x\ne 1)\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\verb#...=\frac{1-x^{2{n+1}}}{1-x}...#\end{center}
nicht l"osbar ist, wohl aber
}
\item[b.)]{\begin{eqnarray*}
\prod\limits^n_{i=0}(1+x^{2^i})&=&\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x},(x\ne 1)\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\verb#...=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}...#\end{center}
}
\end{description}
{\bf Beweis:}\\
\begin{description}
\item[a.)]{
{\bf Behauptung}
\begin{eqnarray*}
\prod\limits^n_{i=0}(1+x^{2^i})&\ne&\frac{1-x^{2{n+1}}}{1-x},(x\ne 1)\\
\end{eqnarray*}
Zum Beispiel $x:=2,\;n=2$
\begin{eqnarray*}
\prod\limits^2_{i=0}(1+2^{2^i})&=&(1+2)\cdot(1+2^2)\cdot(1+2^4)=\\
3\cdot 5\cdot 17&=&255\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{1-2^{2\cdot 2+1}}{1-2}&=&\frac{1-2^5}{1-2}=\\
=\frac{-31}{-1}&=&31\\\\
255&\ne&31\\
\end{eqnarray*}
Damit gilt das gesagte.\\
}
\item[b.)]{
\begin{eqnarray*}
\prod\limits^n_{i=0}(1+x^{2^i})&=&\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x},(x\ne 1)\\
\end{eqnarray*}
\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$A(0)=\prod\limits^0_{i=0}(1+x^{2^i})=\frac{1-x^{2^{0+1}}}{1-x}$\\

\begin{eqnarray*}
(1+x^{2^0})&=&\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}\\
(1+x^1)&=&\frac{1-x^{2^{0+1}}}{1-x}\\
1+x&=&\frac{1-x^2}{1-x}\\
1+x&=&\frac{(1-x)\cdot(1+x)}{1-x}\\
1+x&=&1+x\\
\end{eqnarray*}
}
\item[Induktionsschlu"s]{$A(n)\Longrightarrow A(n+1)\quad\forall n\ge0\in \N_0$\\
\begin{eqnarray*}
\prod\limits^{n+1}_{i=0}(1-x^{2^i})&=&\frac{1-x^{2^{(n+1)+1}}}{1-x}\\
(1+x^{2^{n+1}})\cdot\prod\limits^{n}_{i=0}(1-x^{2^i})&=&\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}\\
\end{eqnarray*}
Mit der Induktionsvorraussetzung gilt:
\begin{eqnarray*}
(1+x^{2^{n+1}})\cdot\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}&=&\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}\\
\frac{(1+x^{2^{n+1}})\cdot(1-x^{2^{n+1}})}{1-x}&=&\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}\\
%\frac{(1+x^{2^{n+1}})\cdot(1-x^{2^{n+1}})}{1-x}&=&\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}\\
1-(x^{2^{n+1}})^2&=&1-x^{2^{n+2}}\\
1-(x^{2^{n+1}}\cdot x^{2^{n+1}})&=&1-x^{2^{n+2}}\\
1-x^{2^{n+1}+2^{n+1}}&=&1-x^{2^{n+2}}\\
1-x^{2^{n+2}}&=&1-x^{2^{n+2}}\\
\end{eqnarray*}
}
\end{description}
q.e.d.
}
\end{description}
\end{document}
