\documentclass{article}
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%\markboth{Beth Scorer (5643272), Fabian Schulz (5575935), Thomas Dettbarn (560641)\hfill\today\hfill}{Beth Scorer (5643272), Fabian Schulz (5575935), Thomas Dettbarn (560641)\hfill\today\hfill}
\markboth{Beth Scorer, Fabian Schulz, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 3\hfill}{Beth Scorer, Fabian Schulz, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 4\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Analysis I\\Blatt 4}
\author{Beth Scorer, 5643272\\Fabian Schulz, 5575935\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Sei $g\in \N,\;g\geqslant 2.$ Zeigen Sie: Jedes $n\in\N_0$ hat eine eindeutige Darstellung $n=\sum\limits^r_{\nu=0}a_\nu g^\nu$ mit $a_\nu \in\{0,1,2,\dots,g-1\}$}
{\bf Beweis:} Per Induktion "uber $r$.\\
\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$A(0)$\\
$r:=0$ (Wenn $n<g$)\\
\begin{eqnarray*}
n&=&\sum\limits^0_{\nu=0}a_\nu g^\nu\\
\Leftrightarrow n&=&a_\nu g^0\\
\Leftrightarrow n&=&a_\nu
\end{eqnarray*}
Damit ist das $n$ eindeutig bestimmt.
}
\item[Induktionsvorraussetzung]{Gilt f"ur alle $r\in\N_0$}
\item[Induktionsschritt]{$A(r)\Longrightarrow A(r+1)$\\
\begin{eqnarray*}
n&=&\sum\limits^{r+1}_{\nu=0}a_\nu g^\nu\\
\Leftrightarrow n&=&\sum\limits^{r+1}_{\nu=1}a_\nu g^\nu+a_0g^0\\
\Leftrightarrow n&=&\sum\limits^{r+1}_{\nu=1}a_\nu g^\nu+a_0\\
\Leftrightarrow n&=&\sum\limits^{r}_{\nu=0}a_{\nu+1} g^{\nu+1}+a_0\\
\Leftrightarrow n&=&g\cdot\underbrace{\left(\sum\limits^{r}_{\nu=0}a_{\nu+1}g^{\nu}\right)}_{eindeutig\;nach\;I.V.}+a_0
\end{eqnarray*}
Die Summe in den Klammern ist eindeutig bestimmt, und wird mit einem Parameter multipliziert, weswegen das Produkt auch eindeutig bestimmt ist. Au"serdem ist der Rest der Division $n/g=a_0$ eindeutig bestimmt. \\
Damit ist somit auch ein $n$ eindeutig bestimmt, welches $r+1$ Ziffern zwischen $0$ und $g-1$ zur Darstellung ben"otigt.
}
\end{description}
$\blacksquare$
\subsection*{2.) F"ur reelle $a,b$ mit $a,b\geqslant 0$ zeige man $\left| \sqrt{a}-\sqrt{b}\right|\leqslant \sqrt{|a-b|}$.}
Mit den Eigenschaften des Absolutbetrages:
\begin{eqnarray*}
|\sqrt{a}|-|\sqrt{b}|\leqslant |\sqrt{a}-\sqrt{b}|\leqslant \sqrt{|a-b|}\\
|\sqrt{a}|-|\sqrt{b}|\leqslant \sqrt{|a-b|}
\end{eqnarray*}
Mit $a,b\in \R_+$ 
\begin{eqnarray*}
\Leftrightarrow |\sqrt{a}|^2-2|\sqrt{a}||\sqrt{b}|+|\sqrt{b}|^2&\leqslant& |a-b|\\
\Leftrightarrow a+b-2|\sqrt{a}||\sqrt{b}|&\leqslant& |a-b|
\end{eqnarray*}
Mit der Dreiecksungleichung 
\begin{eqnarray*}
|x+y|&\leqslant&|x|+|y|,\;\forall x,y\in \R
\end{eqnarray*}
und negativen Werten f"ur $y$ 
\begin{eqnarray*}
|x-y|\leqslant|x|+|(-y)|& \Leftrightarrow& |x-y|\leqslant|x|+|y|\\
\end{eqnarray*}
gilt dann
\begin{eqnarray*}
\Leftrightarrow a+b-2|\sqrt{a}||\sqrt{b}|&\leqslant&|a|+|b|\\
\end{eqnarray*}
Da $a,b\in R_+$ gilt
\begin{eqnarray*}
\Leftrightarrow a+b-2|\sqrt{a}||\sqrt{b}|&\leqslant&a+b\\
\Leftrightarrow -2|\sqrt{a}||\sqrt{b}|&\leqslant&0
\end{eqnarray*}


\subsection*{3.) Sei $0<a<b$. Man definiere induktiv $a_1:=a,\;b_1:=b$ sowie $a_{n+1}:=H(a_n,b_n),\;b_{n+1}:=A(a_n,b_n)$. Dabei ist $H$ bzw. $A$ das harmonische bzw. arithmetische Mittel.}
\subsubsection*{a.) Man zeige: $[a_n,b_n]$ liefert eine Intervallschachtelung um $G(a,b)=\sqrt{ab}$. ($G$ geometrisches Mittel).}
Wir kennen bereits die Ungleichung {\bf (*)}
\begin{eqnarray*}
H(a,b)\leqslant G(a,b)\leqslant A(a,b)
\end{eqnarray*}
vom Analysis "Ubungsblatt 2, Aufgabe 4.
Deshalb ist $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$. 
\begin{eqnarray*}
b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant \frac{1}{2}(b_n-a_n)\leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^2(b_{n-1}-a_{n-1})\leqslant\dots\leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^n(b-a)<(b-a)
\end{eqnarray*}
Sei $\varepsilon >0:\;\exists n\in \N:\;\;b_n-a_n<\varepsilon$. Daraus folgt, da"s  $([a_n,b_n])$ eine Intervallschachtelung ist. 
\begin{eqnarray*}
G(a_n,b_n)=\sqrt{a_nb_n}\in[a_{n+1},b_{n+1}]
\end{eqnarray*}
Wegen der Ungleichung {\bf (*)}.
\subsubsection*{b.) Man berechne damit eine rationale Zahl $x$ mit $\left|\sqrt{s}-x\right|<\frac{1}{10^3}$.}
Wurzeln einer positiven reellen Zahl k"onnen sowohl positive als auch negative Ergebnisse haben:
\begin{eqnarray*}
-\sqrt{2}+x<\frac{1}{10^3}&\Longrightarrow&x-\frac{1}{10^3}<\sqrt{2}\\
+\sqrt{2}-x<\frac{1}{10^3}&\Longrightarrow&\sqrt{2}<\frac{1}{10^3}+x
\end{eqnarray*}
Damit ergibt sich f"ur die obere bzw. untere Intervallgrenze
\begin{eqnarray*}
x-\frac{1}{10^3}<\sqrt{2}<\frac{1}{10^3}+x
\end{eqnarray*}
Mit $a:=a_1=1$, $b:=b_1=2$ l"a"st sich somit $x$ n"aherungsweise berechnen:
\begin{eqnarray*}
a_1=x-\frac{1}{10^3}=\frac{10^3x-1}{10^3}&\Longrightarrow&10^3=10^3x-1\\
&\Leftrightarrow&x=\frac{10^3+1}{10^3}=\frac{1001}{1000}\\
b_1=\frac{1}{10^3}+x=\frac{1+10^3x}{10^3}&\Longrightarrow&2\cdot 10^3=10^3x+1\\
&\Leftrightarrow&x=\frac{2\cdot 10^3-1}{10^3}=x=\frac{1999}{1000}\\
\\
a_2=\frac{2a_1b_1}{a_1+b_1}=\frac{2\cdot 2000999}{3000000}&=&\frac{4001998}{3000000}\\
b_2=\frac{a_n+b_n}{2}=\frac{3}{2}\\
\\
a_3=\frac{\frac{3\cdot 4001998}{30000000}}{\frac{8501998}{3000000}}=\frac{12005994}{3000000}\\
b_3=\frac{8501998}{6000000}\\
\\
a_4=\frac{\frac{2\cdot 8501998\cdot 12005994}{6000000\cdot 8501998}}{\frac{12005994}{8501998}+\frac{8501998}{6000000}}&=&\frac{4,001998}{2,829137614}=1,414564629\\
b_4=\frac{\frac{12005994}{8501998}+\frac{8501998}{6000000}}{2}\\
\end{eqnarray*}
Nachrechnen ergibt dann:
\begin{eqnarray*}
|\sqrt{2}-1,414564629|&=&3,510666269\cdot 10^4
\end{eqnarray*}












\subsection*{4.) Sei $f$ bzw. $F_n$ die Fl"ache des dem Einheitskries ein- bzw. umbeschriebenen $n$-Ecks. Man zeige: $f_{2n}=G(f_n,F_n),\;F_{2n}=H(f_{2n},F_n)$.
}
\beginpicture 
\setcoordinatesystem units <18mm,18mm>
\setplotarea x from -2 to 10, y from -2 to 2
\circulararc 360 degrees from 1 0 center at 0 0
\circulararc 360 degrees from 3 0 center at 4 0
\setplotsymbol ({$\cdot$})
\plot -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 /
\plot 0 1 1 0 0 -1 -1 0 0 1 /
%\plot -0.70710678 -0.70710678 -0.70710678 0.70710678 0.70710678 0.70710678 0.70710678 -0.70710678 -0.70710678 -0.70710678 /

\plot 3.5800 1.0000 4.4200 1.0000 5.0000 0.4200 5.0000 -0.4200 4.4200 -1.0000 3.5800 -1.0000 3.0000 -0.4200 3.0000 0.4200 3.5800 1.0000 /
\plot 4 1   4.71 0.71    5 0    4.71 -0.71   4 -1   3.29 -0.71 3 0 3.29 0.71         4 1 /
\endpicture
\subsubsection*{b.) Man zeige, da"s $[a_k,b_k]$ mit $a_k=f_m$, $b_k=F_m$, mit  $m=2^{k+1},\;k\in\N $ eine Intervallschachtelung bilden.}
{\bf Behauptung:} $[a_k,b_k]$ bildet eine Intervallschachtelung, da f"ur alle $k\in \N$ $a_k\leqslant b_k$, $a_k\leqslant a_{k+1}$ und  $b_k\geqslant b_{k+1}$ gilt.\\
$ $\\
{\bf Beweis:} Durch Induktion "uber $k$.
\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$A(1)$\\
$k:=1$\\

Damit ist $m=2^{k+1}=2^{1+1}=2^2=4$.\\
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <10mm,10mm>
\setplotarea x from -1 to 10, y from -2 to 2
\circulararc 360 degrees from 1 0 center at 0 0
\circulararc -90 degrees from 0.2 0.8  center at 0 1
\plot 1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 /
\put {$\bullet$} at 0 0
\put {$\bullet$} at 6 0
\put {$\cdot$} at 0 0.85
\put {$\underbrace{\hspace{10mm}}_{r}$} at 0.5 -0.2
\put {$\overbrace{\hspace{10mm}}^{r}$} at -0.5 0.2
\put {$a$} at 0.7 0.5
\put {$a$} at -0.7 0.5
\circulararc 360 degrees from 5 0 center at 6 0
\plot 7 1 7 -1 5 -1 5 1 7 1 /
\plotsymbolspacing1pt
\plot 1 0 -1 0 /
\plot 6 0 5 0 /
\plot 6 0 7 0 /
\put {$\underbrace{\hspace{10mm}}_{r}$} at 5.5 -1.2
\put {$\underbrace{\hspace{10mm}}_{r}$} at 6.5 -1.2
\put {$\begin{array}{lrcl}
&f_4&=&a^2\\
&(2r)^2&=&a^2+a^2\\
\Leftrightarrow&4r^2&=&2a^2\\
\Leftrightarrow&2r^2&=&a^2\\
\Rightarrow&f_4&=&2r^2
\end{array}$} at 3 0
\put {$\begin{array}{lrcl}
&F_4&=&(2r)^2\\
\Leftrightarrow&F_4&=&4r^2
\end{array}$} at 9 0
\endpicture

Im Einheitskreis gilt $r=1$. Damit gilt, da"s $f_4<F_4$ ist.

}
\item[Induktionsvorraussetzung]{Gilt f"ur $k$.}
\item[Induktionsschritt]{$A(k)\Longrightarrow A(k+1)$\\
Damit ist $m=2^{k+1+1}=2\cdot 2^{k+1}\Longrightarrow a_k=f_m,\;b_k=F_m,\;\;a_{k+1}=f_{2m},\;b_{k+1}=F_{2m}$\\


\begin{description}
\item[$a_{k+1}\leqslant b_{k+1}$]{
\begin{eqnarray*}
f_{2m}&\leqslant&F_{2m}\\
\Leftrightarrow f_{2m}&\leqslant&\frac{2f_{2m}F_m}{f_{2m}+F_m}\\
\Leftrightarrow 1&\leqslant&\frac{2F_m}{f_{2m}+F_m}\\
\Leftrightarrow f_{2m}+F_m&\leqslant&2F_m\\
\Leftrightarrow f_{2m}&\leqslant&F_m\\
\Leftrightarrow \sqrt{f_{m}F_m}&\leqslant&F_m\\
\Leftrightarrow f_mF_m&\leqslant&F_m^2\\
\Leftrightarrow f_m&\leqslant& F_m
\end{eqnarray*}
Per Induktionsvorraussetzung gilt $f_m<F_m$, damit gilt $a_k\leqslant b_k$.
}
\item[$a_{k+1}\geqslant a_k$]{
\begin{eqnarray*}
f_{2m}&\geqslant&f_m\\
\Leftrightarrow \sqrt{f_mF_m}&\geqslant&f_m\\
\Leftrightarrow f_mF_m&\geqslant&f_m^2\\
\Leftrightarrow F_m&\geqslant& f_m
\end{eqnarray*}
Per Induktionsvorraussetzung gilt $F_m>f_m$, damit gilt $a_{k+1}\geqslant a_k$.
}
\item[$b_{k+1}\leqslant b_k$]{
\begin{eqnarray*}
F_{2m}&\leqslant&F_m\\
\frac{2f_{2m}F_m}{f_{2m}+F_m}&\leqslant&F_m\\
\frac{2f_{2m}}{f_{2m}+F_m}&\leqslant&1\\
2f_{2m}&\leqslant&f_{2m}+F_m\\
f_{2m}&\leqslant&F_m\\
\sqrt{f_mF_m}&\leqslant&F_m\\
f_mF_m&\leqslant&F_m^2\\
f_m&\leqslant&F_m
\end{eqnarray*}
Per Induktionsvorraussetzung gilt $f_m<F_m$, damit gilt $b_{k+1}\leqslant b_k$
}
\end{description}
}
\end{description}
Wegen $a_k\leqslant b_k,\;a_{k+1}\geqslant a_k,\;b_{k+1}\leqslant b_{k}$ f"ur alle $k\in\N$ gilt $[a_{k+1},b_{k+1}]\subset [a_k,b_k]$ und ist damit eine Intervallschachtelung.\\
$ $\\
$\blacksquare$
\end{document}
