\documentclass{article}
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\include{commands}
%\markboth{Beth Scorer (5643272), Fabian Schulz (5575935), Thomas Dettbarn (560641)\hfill\today\hfill}{Beth Scorer (5643272), Fabian Schulz (5575935), Thomas Dettbarn (560641)\hfill\today\hfill}
\markboth{Beth Scorer, Fabian Schulz, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 2\hfill}{Beth Scorer, Fabian Schulz, Thomas Dettbarn\hfill Blatt 3\hfill}
\begin{document}
\title{"Ubungsaufgaben Analysis I\\Blatt 3}
\author{Beth Scorer, 5643272\\Fabian Schulz, 5575935\\Thomas Dettbarn, 5610641}
\maketitle
\newpage
\subsection*{1.) Die Folge der Fibonacci-Zahlen wird induktiv definiert durch $a_0=a_1:=1$ und $a_{n+2}:=a_{n+1}+a_n$.}
\subsubsection*{a.) Man bestimme die ersten 10 Folgenglieder.}
Zun"achst einmal wird die Definition f"ur die Fibonacci-Zahlen von $a_{n+2}$ nach $a_n$ umgeformt: 
\begin{eqnarray*}
a_{n+2}&:=&a_{n+1}+a_n\\
\Leftrightarrow\hfill a_n&=&a_{n-1}+a_{n-2}
\end{eqnarray*}
Damit ergibt sich dann die folgende Tabelle:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{c|r|r}
n&a_{n-2}+a_{n-1}&a_n\\\hline
0&-&1\\
1&-&1\\
2&1+1=&2\\
3&1+2=&3\\
4&2+3=&5\\
5&3+5=&8\\
6&5+8=&13\\
7&8+13=&21\\
8&13+21=&34\\
9&21+34=&55\\
10&34+55=&89\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
\subsubsection*{b.) Man zeige f"ur alle $n,k\in \N_0$, da"s $a_na_{n+k+2}-a_{n+1}a_{n+k+1}=(-1)^na^k$.}
{\bf Behauptung:} $a_na_{n+k+2}-a_{n+1}a_{n+k+1}=(-1)^na_k$ gilt f"ur alle $k,n\in\N$.\\

$ $\\
{\bf Beweis:} per Induktion "uber $n$.\\

\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$A(0)$\\
$n:=0$\\

\begin{eqnarray*}
&&a_0a_{0+k+2}-a_1a_{0+k+1}\\
&=&a_0a_{k+2}-a_1a_{k+1}\\
&=&1\cdot a_{k+2}-1\cdot a_{k+1}\\
&=&a_{k+2}-a_{k+1}\\
&=&a_k=1a_k=(-1)^0a_k\quad\surd
\end{eqnarray*}
}
\item[Induktionsannahme]{Gilt f"ur $n$}
\item[Induktionsschritt]{$A(n)\Rightarrow A(n+1)$\\
\begin{eqnarray*}
&&a_{n+1}a_{n+1+k+2}-a_{n+1+1}a_{n+1+k+1}=\\
&=&a_{n+1}a_{n+k+3}-a_{n+2}a_{n+k+2}\\
&=&a_{n+1}a_{k+3}-(a_{n+1}+a_n)a_{n+k+2}\\
&=&a_{n+1}(a_{n+k+2}+a_{n+k+1})-(a_{n+1}a_{n+k+2}-a_na_{n+k+2})\\
&=&a_{n+1}a_{n+k+2}+a_{n+1}a_{n+k+1}-a_{n+1}a_{n+k+2}+a_na_{n+k+2}\\
&=&a_{n+1}a_{n+k+1}-a_na_{n+k+2}\\
&=&(-1)\underbrace{(a_na_{n+k+2}-a_{n+1}a_{n+k+1})}_{nach\;I.V.\;=(-1)^na_k}\\
&=&(-1)(-1)^na_k\\
&=&(-1)^{n+1}a_k
\end{eqnarray*}
}
Damit wurde die Behauptung gezeigt.\\

q.e.d.
\end{description}
\subsection*{2.) Die Zahl 4 l"a"st sich auf f"unf verschiedene Weisen als Summe von Einsen und Zweien darstellen: $1+1+1+1=1+1+2=1+2+1=2+1+1=2+2$.}
\subsubsection*{a.) Man gebe eine Rekursionsformel f"ur die Anzahl solcher Darstellungen durch Einsen und Zweien f"ur eine beliebige positive Zahl an und berechne sie im Fall $n=12$.}
Gegeben sei die Menge der Summendarstellungen f"ur $n:=1$ und $n:=2$:
\begin{eqnarray*}
\Sigma(1)=\{1\}&&\Sigma(2)=\{1+1,2\}\\
\end{eqnarray*}
$n=1$ l"a"st sich damit auf eine Art darstellen, $n=2$ auf zwei Arten.\\

Da eine Summendarstellung gr"o"serer Zahlen entweder mit $1+$ oder $2+$ beginnt, ergeben sich f"ur $\Sigma(n)$ folgende zwei F"alle:
\begin{description}
\item[Summe beginnt mit 1]{
Die Menge aller Summen, die in $\Sigma(n)$ mit $1+$ beginnen sei folgenderma"sen definiert:
\begin{eqnarray*}
\Sigma_1(n)&:=&\{1+\sigma\mid\sigma \in \Sigma(n-1)\}
\end{eqnarray*}
In $\Sigma(n-1)$ sind bereits alle m"oglichen Kombinationen $\sigma$ enthalten, um $n-1$ darzustellen. 
}
\item[Summe beginnt mit 2]{
Die Menge aller Summen, die in $\Sigma(n)$ mit $2+$ beginnen sei folgenderma"sen definiert:
\begin{eqnarray*}
\Sigma_2(n)&:=&\{2+\sigma\mid\sigma \in \Sigma(n-2)\}
\end{eqnarray*}
In $\Sigma(n-2)$ sind bereits alle m"oglichen Kombinationen $\sigma$ enthalten, um $n-2$ darzustellen.
}
\end{description}
Die Teilmengen $\Sigma_1(n)$ und $\Sigma_2(n)$ sind per Konstruktion disjunkt. F"ur $\Sigma(n)$ ergibt sich somit:
\begin{eqnarray*}
\Sigma(n)&:=&\Sigma_1(n)\;\dot{\cup}\;\Sigma_2(n)
\end{eqnarray*}
Ihre M"achtigkeit ist also:
\begin{eqnarray*}
\mid\Sigma(n)\mid&=&\mid\Sigma(n-1)\mid+\mid\Sigma(n-2)\mid
\end{eqnarray*}

Die M"achtigkeit der Menge $\Sigma(12)$ l"a"st sich rekursiv bestimmen:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{r|r|r}
n&\mid\Sigma(n-1)\mid+\mid\Sigma(n-2)\mid&=\mid\Sigma(n)\mid\\\hline
1&-&1\\
2&-&2\\
3&1+2&=3\\
4&2+3&=5\\
5&3+5&=8\\
6&5+8&=13\\
7&8+13&=21\\
8&13+21&=34\\
9&21+34&=55\\
10&34+55&=89\\
11&55+89&=144\\
12&89+144&=233\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
Die Zahl 12 l"a"st sich somit auf 233 verschiedene Arten als Summe aus Einsen und Zweien darstellen.
\subsubsection*{b.) Welche Anzahl ergibt sich f"ur $n=12$, wenn man zus"atzlich auch Dreien zur Darstellung zul"a"st?}
L"a"st man zus"atzlich Dreien bei der Summenbildung zu, so mu"s die Rekursionsbasis neu berechnet werden, da sich $n=3$ dann auf vier verschiedene Arten darstellen l"a"st.
\begin{eqnarray*}
\Sigma^\prime(3)&=&\{1+1+1,1+2,2+1,3\}
\end{eqnarray*}
$n=1$ l"ast sich weiterhin nur auf eine Art ausdr"ucken, $n=2$ auf zwei:
\begin{eqnarray*}
\Sigma^\prime(1):=\Sigma(1)&&\Sigma^\prime(2):=\Sigma(2)
\end{eqnarray*}
F"ur die Menge der Summen in $\Sigma^\prime(n)$ ergeben sich jetzt drei F"alle:
\begin{description}
\item[Summe beginnt mit 1]{Die Menge aller Summen in $\Sigma^\prime(n)$ die mit $1+$ beginnen sei folgenderma"sen definiert:
\begin{eqnarray*}
\Sigma^\prime_1(n)&:=&\{1+\sigma\mid\sigma\in \Sigma^\prime(n-1)\}
\end{eqnarray*}
In $\Sigma^\prime(n-1)$ sind bereits alle m"oglichen Kombinationen $\sigma$ enthalten, um $n-1$ darzustellen.
}
\item[Summe beginnt mit 2]{Die Menge aller Summen in $\Sigma^\prime(n)$ die mit $2+$ beginnen sei folgenderma"sen definiert:
\begin{eqnarray*}
\Sigma^\prime_2(n)&:=&\{2+\sigma\mid\sigma\in \Sigma^\prime(n-2)\}
\end{eqnarray*}
In $\Sigma^\prime(n-2)$ sind bereits alle m"oglichen Kombinationen $\sigma$ enthalten, um $n-2$ darzustellen.
}
\item[Summe beginnt mit 3]{Die Menge aller Summen in $\Sigma^\prime(n)$ die mit $3+$ beginnen sei folgenderma"sen definiert:
\begin{eqnarray*}
\Sigma^\prime_3(n)&:=&\{3+\sigma\mid\sigma\in \Sigma^\prime(n-3)\}
\end{eqnarray*}
In $\Sigma^\prime(n-3)$ sind bereits alle m"oglichen Kombinationen $\sigma$ enthalten, um $n-3$ darzustellen.
}
\end{description}
Die Teilmengen $\Sigma^\prime_1(n)$, $\Sigma^\prime_2(n)$ und $\Sigma^\prime_3(n)$ sind per Konstruktion disjunkt. F"ur $\Sigma^\prime(n)$ ergibt sich somit:
\begin{eqnarray*}
\Sigma^\prime(n)&:=&\Sigma^\prime_1(n)\;\dot{\cup}\;\Sigma^\prime_2(n)\;\dot{\cup}\;\Sigma^\prime_3(n)
\end{eqnarray*}
Ihre M"achtigkeit ist also:
\begin{eqnarray*}
\mid\Sigma^\prime(n)\mid&=&\mid\Sigma^\prime(n-1)\mid+\mid\Sigma^\prime(n-2)\mid+\mid\Sigma^\prime(n-3)\mid
\end{eqnarray*}
Die M"achtigkeit der Menge $\Sigma^\prime(12)$ l"a"st sich rekursiv bestimmen:
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{r|r|r}
n&\mid\Sigma(n-1)\mid+\mid\Sigma(n-2)\mid+\mid\Sigma(n-3)\mid&=\mid\Sigma(n)\mid\\\hline
1&-&1\\
2&-&2\\
3&-&4\\
4&1+2+4&=7\\
5&2+4+7&=13\\
6&4+7+13&=24\\
7&7+13+24&=44\\
8&13+24+44&=81\\
9&24+44+81&=149\\
10&44+81+149&=274\\
11&81+149+274&=504\\
12&149+274+504&=927\\
\end{array}
\end{eqnarray*}
Die Zahl $n=12$ l"a"st sich also auf 927 verschiedene Arten als Summe von Einsen, Zweien und Dreien darstellen.\\

{\bf Folgerung:} F"ur den allgemeinen Fall, da"s Summanden zwischen $1$ und $k$ zugelassen werden, ergibt sich als Anzahl der M"oglichkeiten:
\begin{eqnarray*}
\mid\Sigma(n)\mid&=&\sum\limits_{i=1}^k \mid\Sigma(n-i)\mid\\
\end{eqnarray*}
\subsection*{3.) Man zeige, da"s im K"orper $\Q$ der rationalen Zahlen die Menge $P=\{x=\frac{a}{b}\mid a\in \Z,b\in \Z^*,\;a\cdot b\in \N\}$ einen Positivit"atsbereich bildet.}
Sucht man Werte f"ur $a\in \Z$ und $b\in Z^*$ ergeben sich f"unf F"alle.\\

\begin{tabular}{l@{$\Longrightarrow$}l@{$\Longrightarrow$}l}
$a>0,\;b>0$&$a\cdot b>0$&$a\cdot b\in \N$\\
$a\leqslant 0\;b>0$&$a\cdot b\leqslant 0$&$a\cdot b\not \in \N$\\
$a>0,\;b<0$&$a\cdot b<0$&$a\cdot b\not\in \N$\\
$a=0,\;b<0$&$a\cdot b=0$&$a\cdot b\not\in \N$\\
$a<0,\;b<0$&$a\cdot b>0$&$a\cdot b\in \N$\\
\end{tabular}
$ $\\

In allen F"allen gilt au"serdem $b^2>0$. Damit gilt $\frac{1}{b^2}$.\\

In den F"allen in denen $a\cdot b\in \N$ gilt, gilt:
\begin{eqnarray*}
\frac{a}{b}&=&\underbrace{\underbrace{a\cdot b}_{>0}\cdot \underbrace{\frac{1}{b^2}}_{>0}}_{>0}
\end{eqnarray*}
Damit ist $\frac{a}{b}>0$.
\subsection*{4.) Man zeige, da"s f"ur positive Elemente $x_1,\dots,x_n$ in $\Q$ die folgenden Aussagen richtig sind: Aus $x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n=1$ folgt $x_1+x_2+\cdots+x_n\geqslant n$ und $(1+x_1)(1+x_2)\cdot\dots\cdot (1+x_n)\geqslant 2^n$. Umgekehrt folgt aus $x_1+\dots+x_n=n$ die Ungleichung $x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n\leqslant 1$. Wann gilt jeweils das Gleichheitszeichen?}
{\bf Behauptung 1:} Aus $x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n=1$ folgt $x_1+x_2+\dots+x_n\geqslant n$.

$ $\\
{\bf Beweis:} durch Induktion nach $n$.\\

\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$A(1)$\\
$n:=1$.
\begin{eqnarray*}
x_1=1&\Rightarrow&x_1\geqslant 1\quad\surd
\end{eqnarray*}
}
\item[Induktionsannahme]{Gilt f"ur $n$}
\item[Induktionsschritt]{$A(n)\Rightarrow A(n+1)$\\
\begin{eqnarray*}
x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n\cdot x_{n+1}&=&1\\
\Leftrightarrow (x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n)\cdot x_{n+1}&=&1\\
\Rightarrow 1\cdot x_{n+1}&=&1\\
\Rightarrow x_{n+1}&=&1\\
\\
\Rightarrow x_1+x_2+\dots+x_n+x_{n+1}&\geqslant&n+x_{n+1}\\
&\geqslant&n+1
\end{eqnarray*}

Damit wurde die Behauptung 1 gezeigt.
}
\end{description}

{\bf Behauptung 2:} Aus $x_1\cdot\dots\cdot x_n=1$ folgt $(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n)\geqslant 2^n$\\

\begin{description}
\item[Induktionsannahme]{$A(1)$\\
Aus $x_1=1$ folgt $(1+x_1)=(1+1)=2\geqslant2^1\quad\surd$.
}
\item[Induktionsannahme]{Gilt f"ur $n$}
\item[Induktionsschritt]{$A(n)\Rightarrow A(n+1)$
\begin{eqnarray*}
x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n\cdot x_{n+1}&=&1\\
\Leftrightarrow (x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n)\cdot x_{n+1}&=&1\\
\Leftrightarrow 1\cdot x_{n+1}&=&1\\
\Leftrightarrow x_{n+1}&=&1\\
\\
\Rightarrow (1+x_1)(1+x_2)\dots(1+x_n)(1+x_{n+1})&\geqslant& 2^n(1+x_{n+1})\\
&=&2^n\cdot(1+1)\\
&=&2\cdot 2^n\\
&=&2^{n+1}
\end{eqnarray*}
}
\end{description}
Damit wurde die Behauptung 2 gezeigt.\\

$ $\\
{\bf Behauptung 3:} Aus $x_1+x_2+\dots+x_n=n$ folgt $x_1\cdot x_2\cdot \dots\cdot x_n\leqslant 1$.\\

{\bf Beweis:} durch Induktion nach $n$.\\

\begin{description}
\item[Induktionsanfang]{$A(1)$\\
$n:=1$\\

\begin{eqnarray*}
x_1=n\Rightarrow n=1&&x_1\leqslant 1\quad\surd.
\end{eqnarray*}
}
\item[Induktionsannahme]{Gilt f"ur $n$}
\item[Induktionsschritt]{$A(n)\Rightarrow A(n+1)$\\
\begin{eqnarray*}
\underbrace{x_1+\dots+x_n}_{=n}+x_{n+1}&=&n+1\\
\Rightarrow\quad n\quad+x_{n+1}&=&n+1\\
\Rightarrow x_{n+1}&=&1\\
\\
&&x_1\cdot x_2\cdot \dots\cdot x_n\cdot x_{n+1}\\
&=&x_1\cdot x_2\cdot \dots\cdot x_n\cdot 1\\
&=&\underbrace{x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n}_{\leqslant 1\;nach\;I.A.}\leqslant 1\quad\surd.
\end{eqnarray*}
}
\end{description}
Damit wurde die Behauptung 3 gezeigt.\\
$ $\\
$ $\\
$ $\\
$ $\\
$ $\\

Gleichheit gilt, wenn $ x_i:=1,\; \forall i \in \N$. Dann ist
\begin{eqnarray*}
x_1+\dots+x_n&=&\sum\limits^n_{i=1}1=n\\
x_1\cdot x_2\cdot \dots\cdot x_n&=&\prod\limits^n_{i=1} 1=1^n=1\\
(1+x_1)(1+x_2)\cdot \dots\cdot (1+x_n)&=&\prod\limits^n_{i=1} (1+1)=\prod\limits^n_{i=1} 2=2^n\\
\end{eqnarray*}

\end{document}
